三點定拋物線秒殺選擇壓軸題

我們在學習確定拋物線解析式的時候，通常是給出不共線三點坐標，分別代入拋物線解析式中求各參數，在這節課的變式訓練中，我們將三個點的條件改編成不同形態，以期讓學生熟悉這種方法，以上是傳統課堂教學設計，沒問題，中規中矩。

直到，下面這道題的出現，仍然是考這個知識點，又該如何應對呢？

題目

設函數y=a(x-h)2+k(a,h,k是實數，a≠0)，當x=1時，y=1；當x=8時，y=8，則下面命題成立的是（ ）

A.若h=4，則a<0 B.若h=5，則a>0

C.若h=6，則a<0 D.若h=7，則a>0

解析：

先說秒殺法，數形結合大法！

函數經過點A(1,1)和B(8,8)；

按選項A的描述，對稱軸為x=4，不妨將其中點A的對稱點作出來，為A'(7,1)，如下圖：

顯然經過A、A'、B三點的拋物線開口向上，則a>0，選項A錯誤；

按選項B的描述，對稱軸為x=5，仍然作出點A關于對稱軸的對稱點A'(9,1)，如下圖：

顯然經過A、A'、B三點的拋物線開口向下，則a<0，選項B錯誤；

秒殺大法再次進化，經過三個定點，完全可以求出拋物線解析式，然而對于一道選擇題，只要求得到開口方向，這個法子還是嫌麻煩，我們再認真觀察圖象，點A關于對稱軸x=h的對稱點A'，線段AA'所對應的橫坐標范圍，點B橫坐標是否在這個范圍內，再看拋物線開口方向，應該能得到技巧了。

只要確定了線段AA'的位置，當點B在線段AA'范圍“內”，則開口向下，當點B在線段AA'范圍“外”，則開口向上；

按選項C的描述，對稱軸為x=6，點A'(11,0)，點B在范圍“內”，則開口向下，a<0，選項C正確；

按選項D的描述，對稱軸為x=7，點A'(13，0)，點B在范圍“內”，則開口向下，a<0，選項D錯誤；

順便說一下比較“笨”一點的方法，畢竟上面的數形結合并不是多數學生能夠想到的，看到點坐標，至少能代入到解析式中，也算一條路；

將點(1,1)和(8,8)分別代入函數解析式中，得到

a(1-h)2+k=1和a(8-h)2+k=8

將上面兩式相減，得

a[(1-h)2-(8-h)2]=-7

a(9-2h)(-7)=-7

a(9-2h)=1

當9-2h>0即h<4.5時，a>0；當9-2h<0即h>4.5時，a<0；

據此來判斷下面四個選項中，唯有選項C正確.

解題反思

寫完本題之后，再次回想我們在這節新課時的教學設計，是不是缺了點什么？

這節課通常是待定系數法的舞臺，因此我們需要思考，教學中學生要達到什么樣的認知程度，在未來可以秒掉今天這道題？我們當然不會指望一節課之后，學生就具備這種能力，只是要在45分鐘內埋下一顆種子，一顆思維的種子，經過一段時間數學學習的滋潤，它能破土而出。

其實對于選擇題和填空題，會存在一種較為取巧的方法，但這種巧，是建立在對數學概念和基本方法的深刻理解之上，脫離了這個基礎，盲目追求秒殺解法，是本末倒置。

那么，在前面這節課中，我們需要的，可能并不僅僅是幾道變式題，而是要通過這節課，在學生腦子里留下：拋物線確定究竟依靠哪些參數，每個參數對拋物線有哪些影響，拋物線形狀的每一點變化，是哪個參數變化引起的；讀題時就要思考，題目中這個條件是針對拋物線哪個參數的，會影響拋物線形狀嗎？等等

這些問題可以通過不同方式呈現給學生，可以是習題，可以是課堂活動，甚至可以是課外活動，只有多角度、多層次展現數學概念，學生才有可能理解得更深刻。