妙用隱圓

2024年西城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)第27題

我們在學(xué)習(xí)圓的概念時(shí)，通常會(huì)給出圓的兩種定義，第一種是描述性定義，在人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊第79頁，第二種是集合性定義，在第80頁，如下圖：

其實(shí)在處理教材上“你能說出圓是如何畫出來的嗎？”的時(shí)候，就是在引導(dǎo)學(xué)生用圓去理解現(xiàn)實(shí)世界，這節(jié)課中這個(gè)環(huán)節(jié)是否有效，準(zhǔn)確點(diǎn)說，是否長效，就看未來學(xué)生解題過程中，能否想到用圓去理解所見到的幾何圖形，即構(gòu)圓法。

能夠構(gòu)造圓的幾何圖形結(jié)構(gòu)很多，初中階段，以定義去構(gòu)建圓的方式，教材中也有，如下圖：

很巧的是，這個(gè)例題同樣在第一節(jié)新課中，它實(shí)際上告訴學(xué)生的是，利用矩形對(duì)角線相等且互相平分，可以得到對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)距離相等，所以由矩形想到圓，經(jīng)歷的是“到定點(diǎn)的距離等于定長”。

而在我們學(xué)習(xí)了圓周角之后，又多了一個(gè)稱手的工具來構(gòu)造圓，如下圖：

圖中這些直角三角形都有一條公共斜邊，我們?nèi)∷闹悬c(diǎn)O，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，仍然可以構(gòu)造出圓，這比起單純利用矩形，更具普遍性（事實(shí)上矩形也可以看作是兩個(gè)直角三角形，對(duì)角線的一半也是斜邊上的中線）。

當(dāng)然，除了教材上的這些基本方法，我們還有“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓”、“同側(cè)共底三角形頂角相等法”等，不過個(gè)人認(rèn)為，構(gòu)圓，還是要從定義開始。

2024年西城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末第27題，構(gòu)圓，可作為檢驗(yàn)概念理解的標(biāo)準(zhǔn)，圓用得妙，題目難度就不會(huì)高。

題目

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CM⊥AB于點(diǎn)M.點(diǎn)P在射線CM上，連接AP，作CD⊥AP于點(diǎn)D，連接MD，作CE⊥MD于點(diǎn)E，作DF∥AB交直線CE于點(diǎn)F，連接MF.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段CM上時(shí)，在圖1中補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠ADM的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段CM的延長線上時(shí)，利用圖2探究線段DF與AM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)取線段MF的中點(diǎn)K，連接BK，若AC=8，直接寫出線段BK長的最小值.

解析：

01

(1)觀察圖中△ACM和△ACD，它們是共斜邊的直角三角形，不妨取AC中點(diǎn)O，以AC為直徑作圓，如下圖：

由圓的定義可知A、C、D、M四點(diǎn)共圓，此時(shí)∠ADM=∠ACM=45°；

02

(2)在備用圖作圖如下：

由前一小題的探究結(jié)果，以AC為直徑的圓O經(jīng)過A、D、M、C四點(diǎn)，于是∠CDE=∠CAM=45°，再加上∠AED=90°，又得到新的等腰Rt△CDE，觀察△DEF與△CEM，它們有一條邊相等DE=CE，還有一個(gè)直角，只差一個(gè)條件即可全等；

由DF∥AB，可得∠BME=∠FDE(同位角)，而∠BME+∠CME=90°，∠CME+∠MCE=90°，于是可得到∠FDE=∠MCE，所以可證△DEF≌△CEM，所以DF=CM，而CM=AM，故DF=AM；

03

(3)先按要求作圖觀察，如下圖：

由于我們在前一小題已經(jīng)證明過DF=AM，而AM=BM，所以很容易得到DF=BM，再加上DF∥AB，所以可以構(gòu)建一個(gè)平行四邊形BMDF，并且FM是對(duì)角線，K是其對(duì)角線中點(diǎn)，如下圖：

所以我們可以知道BK是BD的一半，問題轉(zhuǎn)化成BD長度何時(shí)最短；

對(duì)于線段BD，端點(diǎn)B是固定的，另一個(gè)端點(diǎn)D在圓O上，因此當(dāng)B、D、O三點(diǎn)共線時(shí)，BD最短，如下圖：

此時(shí)△BOC中，可求出OB=4√5，而OD=4，因此BD長為4√5-4，所以BK最小值是2√5-2.

解題反思

學(xué)生按題目上要求作圖是第一步，也是最基礎(chǔ)的步驟，通常情況下學(xué)生能作出下圖：

通過初步觀察，可發(fā)現(xiàn)等腰Rt△ABC，三個(gè)直角∠CED、∠ADC、∠AMC(或∠BMC)，均為題目直接給出；

進(jìn)行初步推導(dǎo)，可進(jìn)一步得到AM=BM=CM，△APM∽△CPD，AC=√2AM等；

此時(shí)絕大多數(shù)學(xué)生并未想到隱圓，直到觀察到△ADC和△AMC共斜邊這個(gè)突破口，因此學(xué)生讀題時(shí)，初步觀察和初步推導(dǎo)，都是建立在直接得到或一步推導(dǎo)基礎(chǔ)之上，這也是幾何綜合題分析的準(zhǔn)備工作，接下來就是建立前面各結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，也是幾何綜合題重點(diǎn)考查的學(xué)生能力，也是區(qū)分中等生和學(xué)優(yōu)生的重要參考，一般而言，中等生會(huì)在建立各結(jié)論關(guān)聯(lián)上耗費(fèi)較長時(shí)間，并且不易成功，或者思考方向出現(xiàn)偏差，例如有學(xué)生總是糾結(jié)于題目中的若干對(duì)相似三角形，并苦苦尋找它們相似的條件，猛然發(fā)現(xiàn)，第一小題的結(jié)論與它們并無關(guān)系，白白浪費(fèi)了不少時(shí)間，這對(duì)于一次考試是不可原諒的時(shí)間損耗。

那么，那些成功聯(lián)系到隱圓的學(xué)生，又是如何思考的呢？在學(xué)習(xí)圓概念的過程中，真正理解了到定點(diǎn)的距離等于定長，在觀察到直角三角形之后，特別是兩個(gè)共斜邊的直角三角形，并未將這條信息作為“不重要”的思維備份，而是繼續(xù)在“共斜邊”上多思考了一點(diǎn)點(diǎn)，正是多了這一點(diǎn)點(diǎn)，思維格局一下子就打開了。

于是我們回到當(dāng)初學(xué)習(xí)圓概念的第一節(jié)課上，反問自已，這節(jié)課，我講清楚了嗎？學(xué)生學(xué)明白了嗎？作為老師，是否成功將圓的概念植入學(xué)生大腦中了，或者說，是否成功讓學(xué)生“生長”出了圓的概念？

因此，我們研究幾何綜合題的解法，最終目的是為了回歸到課堂教學(xué)中，去思考如何組織教學(xué)，才能讓學(xué)生有最大收獲，從而在解題過程中少遇到障礙，雖然這個(gè)過程“慢”，卻是我認(rèn)為學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)最快的“捷徑”。