拋物線背景下的矩形存在性——東湖高新區九年級數學第24題

關于矩形存在性的探究，在函數綜合題中很常見，根據矩形本身的圖形屬性，我們已知其中兩個頂點，求剩下的頂點，方法是“兩垂一圓”，即分別以這兩個頂點所連線段為邊，或者為對角線，尋找另外兩個頂點。

題目

解析：

01

(1)本小題方法很多，最快的方法是利用拋物線頂點式，設y=a(x-2)2+4，把(0,0)代入，求出a=-1，即y=-x2+4x；

02

(2)思考這樣一個問題，經過O、E兩點的拋物線，對稱軸在哪？

所以很明顯P、Q兩點均在OE的垂直平分線上，拋物線C2甚至不需要畫出來，然后再去作PQ的垂直平分線，如下圖：

不妨設Q(2,n)，則M，N的縱坐標為n/2+2，可列方程-x2+4x=n/2+2，利用配方法解這個方程，得到M，N的橫坐標，則MN長度可用含n的代數式表示，然后再表示出PQ的長度，四邊形PMQN的面積可用對角線乘積的一半來求，推導如下：

現在可求出Q點坐標(2,20/9)，再利用頂點式設拋物線C2為y=a(x-2)2+20/9，代入(0,0)即可求出a=-5/9，最后得到拋物線C2的函數表達式為y=-5/9(x-2)2+20/9；

03

(3)先求出平移后的拋物線為y=-x2+2x+3，再分別求出A(0,3)和B(3,0)，得到直線AB的解析式為y=-x+3；

下面我們分情況討論：

①當AB為矩形邊長時，分別過點A、B作AB的垂線，與直線PH的交點即為點C，如下圖：

過點A且垂直于AB的直線解析式為y=x+3，與PH的交點為C(2,5)，從點A到點C，橫縱坐標分別加2，故點D坐標在點B的基礎上，橫縱坐標分別加2，得D(5,2)；

過點B且垂直于AB的直線解析式為y=x-3，與PH的交點為C(2,-1)，從點B到點C，橫縱坐標分別減1，故點D坐標在點A的基礎上，橫縱坐標分別減1，得D(-1,2)；

②AB為矩形對角線時，我們找到線段AB的中點G，根據矩形對角線互相平分且相等，不妨設C(2,m)，兩點距離公式求AB=3√2，則CG=3√2/2，可列方程求出m的值，如下圖：

解題反思

本題函數味道稍弱，幾何味道略強，由點坐標求線段長度，再由線段長度表示面積，本質上是幾何屬性，只不過這些量中都含參數，這個參數是由函數引起的。

矩形的存在性探究，已知兩個頂點，需要從直觀上去確定這個矩形的大致形狀，即AB為邊，或為對角線，由于AB本身位置的特殊性，△AOB是等腰直角三角形，所以利用幾何圖形性質同樣可以得到結論，而不僅依靠于求直線解析式。

矩形存在性與直角三角形存在性本質上是一樣的，所采用的分類方法及尋求頂點的方法一致。我們在AB為直角邊時，分別取A和點B為直角頂點，以AB為斜邊時在直線AB兩側各尋找到一個直角頂點，這又可以與圓聯系起來，所以在作圖時，我們通常會有兩垂一圓的說法，這個圓即以AB為直徑的圓，圓周上任何一點都可以構成以AB為斜邊直角三角形。

這些事實，需要在教學中學生領悟，或者在教師引導下領悟，如果順序反了，先告訴學生事實，然后通過練習去記憶，最后學生不會理解，更不會運用。