深入理解函數

2024年湖北省中考模擬數學第24題

作為2024年湖北省中考模擬數學卷（非武漢地區）的終極BOSS，本題最后一問的設置很巧妙，事實上它是一個新函數，即要求學生用函數的觀念去理解這一問涉及到的變量，前面兩個小問一如既往比較簡單。

函數綜合題的考查對命題的確是極高的要求，我們在教學中經常說函數課要有函數味道，而不能把函數教學局限于復雜的代數恒等變換，看上去參數眾多，實際上就是“死算”；全國各地中考題對函數綜合的命題，越來越多地開始檢驗學生對概念的深層理解，包括新定義題型，在個人看來，本題適當改編，也不失為新定義的優秀素材，那究竟要如何體現函數味道，我們一起來看本題。

題目

在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c（b，c是常數）與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C，P為x軸上方拋物線上的動點（不與點C重合），設點P的橫坐標為m.

(1)直接寫出b，c的值；

(2)如圖，直線l是拋物線的對稱軸，當點P在直線l的右側時，連接PA，過點P作PD⊥PA，交直線l于點D，若PA=PD，求m的值；

(3)過點P作x軸的平行線與直線BC交于點Q，線段PQ的長記為d.

①求d關于m的函數解析式；

②根據d的不同取值，試探索點P的個數情況.

解析：

0 1

(1)由條件可知該二次函數二次項系數為-1，直接由交點式寫出y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，即b=2，c=3；

0 2

(2)PD⊥PA且PA=PD，所以構造“一線三直角”模型即可解決各點坐標的關聯問題，如下圖：

顯然圖中△APF≌△PDE，先寫出點P坐標為(m,-m2+2m+3)，然后表示出PF=-m2+2m+3，DE=m-1，于是由PF=DE列方程為-m2+2m+3=m-1，解得m=(1+√17)/2；

0 3

(3)本題一定要認真作圖，一定要認真觀察圖形的變化，按要求在備用圖中作x軸的平行線，可以發現這條平行線隨點P位置不同，交點Q的位置也隨之變化，如下圖：

在草圖中，我們需要思考以下幾個問題：

第一，過點P且平行于x軸的直線，與拋物線的交點情況；

第二，這條平行線與拋物線的哪個交點可記為點P？

第三，PQ的長度d如何用含m的代數式表示？

①拋物線的頂點為(1,4)，當點P位于此處時，d=2，這是特殊位置；然后我們求出直線BC的解析式為y=-x+3，從而可表示出點Q坐標為(m2-2m，-m2+2m+3)，為后面表示出d作準備；

當點P在第一象限時，此時點Q在點P左側，d=m-(m2-2m)=-m2+3m；

當點P在第二象限時，此時點Q在點P右側，d=(m2-2m)-m=m2-3m；

綜上可得d=-m2+3m(0

②在前面對點P位置的討論過，我們簡單地用點P所在象限分類，其實還是有邏輯上的“漏洞”，即前面所說第二個問題，哪個交點可記為點P？

除了點P在拋物線頂點處時，這條平行線與拋物線均有兩個交點，即點P有兩處，如下圖：

那前面的討論中為何不分兩處來寫解析式呢？

因為無論上圖中的點P或點P'，其坐標都是同一種，都用參數m表示，而m本身的取值，有兩個結果，從解析式角度來看，并無問題；

但輪到討論點P個數時，問題就來了，圖中很明顯，當d的取值不同，滿足條件的點P不止一處，所以我們需要重新用變量的觀念去理解問題。

當點P在第一象限時，d=-m2+3m=-(m-3/2)2+9/4，說明在這個范圍內，d是有最大值9/4的，如下圖：

當m=3/2時，PQ長度最大，我們過點P作BC的垂線段PG，此時PG長度也最長，即點P到直線BC的距離最長；由于△BOC是一個等腰直角三角形，很容易證明△PQG也是等腰直角三角形，因此我們建立了PQ與PG間的關聯，即d=√2PG，當點P在第一象限時，PG的長度變化趨勢是：點P從B運動到點C，PG先變長，到圖中PG位置時最長，然后又變短，到達點C時，d=0；

現在我們將這種探討方式推廣，當點P在第二象限的時候，我們發現PG的長度變化趨勢是：點P從點C運動到點A，PG先變長，當PG長度超過前面的“最大長度”后，還在繼續變大，直到到達點A，此時d=4，如下圖：

于是根據前面的探索，我們成功將問題轉化為點P到直線BC的距離，與點P個數間的關系，現在理解起來就容易多了；

總體上d的范圍是0

為幫助理解，我們過點P作直線BC的平行線，請注意在兩側各有一條平行線，即直線m和直線n，仍然先看特殊情況，當PG=9√2/8時，d=9/4，滿足條件的點P有兩個，如下圖：

當0

當9√2/8

解題反思

從最難想的第三問看，如何尋找d與點P個數間的關系，很多學生沒能找到門路，因為d的值并不是和點P位置一一對應，如果本題根據點P位置去求d的值，這個難度一下子就降低了，所以說這道題的命題很智慧。

當然，解這道題之后，作為老師，接下來就是思考如何講給學生懂，如果把自已的思維過程以清晰的脈絡呈現出來，學生才有可能理解清楚，所以在思考解法講授的時候，多畫了幾組圖，事實上在解題過程中，并沒有繪制這么多圖示。

d值與線段PQ長度有關，雖然PQ看上去很“直”，但最終不如轉化成PG長度直觀，顯然PG看上去是“斜”，這也可以看作是化斜為直的反套路，經此一役，學生應該明白，數學中的“斜”或“直”，永遠是相對的，不可拘泥。

一旦問題轉化成點P到直線BC的距離與點P個數的關系，則問題又變成了“老熟人”，這是典型的化歸思想。