基本圖形再挖掘

2024年湖北省中考模擬數學第23題

萬眾矚目的2024年湖北省中考模擬數學（非武漢地區）卷，整體難度較低，這是面對全省各地區過大的差距進行的一種妥協，在難度分布上，仍然依照“斜鋸齒”原則進行了調整，其中選擇題第10題和填空題第15題相對略有提高，第23題較為平和，第24題最后一問難度較高。

和武漢地區的幾次元調模擬卷相比，第23題幾何綜合的難度大大降低了，體現了有別于武漢地區的命題風格，本題取材于課本習題，基調是旋轉全等，融入了軸對稱、勾股定理等，對學生觀察圖形能力提出了較高要求，受困于第3問的學生，多數原因是圖形間的關聯未能找到，或者說平時課堂學習中，觀察圖形的培養存在較大問題，這在后期教學中值得注意。

題目

在Rt△ABC中，∠C=90°，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△ADE，旋轉角小于∠CAB，點B的對應點為點D，點C的對應點為點E，DE交AB于點O，延長DE交BD于點P.

(1)如圖1，求證：PC=PE；

(2)當AD∥BC時，

①如圖2，若CA=6，CB=8，求線段BP的長；

②如圖3，連接BD，CE，延長CE交BD于點F，判斷F是否為線段BD的中點，并說明理由.

解析：

0 1

(1)基本思路連接AP構造全等，利用旋轉前后兩個三角形全等，得到AE=AC，再加上公共邊AP，得Rt△APE≌Rt△APC，所以PC=PE，如下圖；

0 2

(2)①新增條件AD∥BC后，事實上整個圖形是靜態圖形，我們可得到∠DAO=∠B，同時由于旋轉全等，∠B=∠D，于是∠DAO=∠D，即等腰△AOD；

當CA=6，CB=8時，首先可得它們的對應邊AE=6，DE=8，在Rt△AOE中，我們設法表示出其三邊長，再利用勾股定理列方程即可，設OA=OD=x，則OE=8-x，由OA2=OE2+AE2，得方程x2=(8-x)2+36，解得x=25/4；

仍然由AD∥BC可證明等腰△BOP，并且利用前面求得的x，先求出OE=8-25/4=7/4，再求出OB=AB-OA=10-25/4=15/4，于是OP=OB=15/4，所以PE=OP-OE=15/4-7/4=2，則PC=PE=2，最后BP=BC-PC=8-2=6；

當然本題也可以利用相似來完成，但對于本次省考模擬的考試范圍，超綱了，簡略說明如下：△AOD∽△BOP，且相似比為5：3，所以求得BP=6；對于學生使用此方法完成，個人意見是不予全分，以免滋生超綱學習的不正之風；

②作為本題難點，關鍵是識圖，在前面結論中PC=PE，說明△PCE為等腰三角形，恰好還有條件AD∥BC，所以當我們延長CF、AD交于點G，便可得到另一個等腰△DEG，如下圖：

若想證明點F為BD中點，則需要證明△DFG≌△BFC，它們在平行線間，所以相等的角眾多，我們重點尋找邊相等的條件；

從旋轉全等中可得DE=BC，再加上等腰△DEG中DE=DG，于是DG=BC，全等條件已經齊備，于是△DFG≌△BFC，得DF=BF，即點F為線段BD中點.

解題思考

本次模擬省考的考試范圍在考前廣泛征求過意見，最終確定為七年級、八年級以及九年級上冊內容，從整卷命題中也能發現，嚴格遵循了上述范圍要求，當然由于初中數學各章節的關聯緊密，不可避免地會出現能夠使用九年級下冊的知識去解題，所以對于閱卷標準提出了較高要求，仁者見仁，智者見智吧！

從學生實際答題體驗來看，很多中等生完成前面基礎部分毫無壓力，只是在第10題和第15題消耗了較多時間，而這兩道題中第10題是可以利用函數圖象性質秒殺的，第15題是可以大膽猜想特殊三角形的，這都在一定程度上提供了“捷徑”，只是這個捷徑要想走通，需要平時對數學知識的深度理解，淺一點都不行，這就有效地區分出了中等生和學霸，耗時長且正確率不穩定的基本上是中等生，學霸基本可以做到秒殺。

第23題與傳統武漢幾何綜合存在不小差距，首先是難度，以元調模擬題為對照，確實小兒科，沒有設置高門坎，在目前難度下要想獲得較好的區分度，很不容易，如果拿到武漢地區考生，可能本題滿分人數會大大增加，造成優分層的混淆；其次是數學思想，本題3個小題間關聯較弱，幾乎可以看作相互獨立的問題，與武漢幾何綜合相比，方法遷移基本看不出來，反倒是給學生不斷搭梯子，給人感覺是很小心地設置條件和結論，生怕難度超標，心疼一下命題專家們。

最后，第23題在重重限制之下，仍然讓中等生感覺到了“難”，這是正確的命題思路，未來真正的省考，想必不會戴上如此枷鎖，所以更大的考驗，在六月。