“雙圖”題型——圖形運動與函數圖象間的探究

通常情況下，函數研究的是變量之間的關系，而平面幾何中，圖形的運動會帶來更豐富的變化，這二者的結合，是典型的數形結合，用函數觀念去理解圖形運動，從圖形運動中尋找函數關系，對學生數學建模能力提出了較高要求。例如2023年深圳卷第10題、2023年河北卷第14題、2023年河南卷第10題、2023年齊齊哈爾卷第8題、2023年溫州卷第10題等，“雙圖”之一是動態幾何圖形，之二是函數圖象，難度有高有低，區分度也隨之不同，這一類問題，需要學生看懂圖形的運動，找到其中的變量，并且理解對應的函數圖象。

題目

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC，定長線段EF分別是邊AC、BC邊上的動點，O是EF的中點，連接OB，設AE=x，CF=y2，y與x之間的函數關系的部分圖象如圖2所示(最高點為(b,4))，當x=a時，∠OBC最大，則a的值為___________

解析

圖形變化中的特殊位置均在右圖函數圖象中尋找，當x=b時，y有最大值4，此時再觀察左圖，CF=y2，當y有最大值，即CF有最大值，對于定長線段EF，在Rt△CEF中，當EF與CF重合時，取最大值，此時y=4，即CF=2，所以我們得到了定長線段EF=2；

當x=1時，CF=√3，在Rt△CEF中，可求出CE=1，所以得到AC=2，同時BC=4；

此時對于△CEF，點O是斜邊上的中點，因此點O在以C為圓心，1為半徑的圓上，如下圖：

當∠OBC最大時，即OB成為圓C切線，我們連接OC，并過點O向BC作垂線，如下圖：

此時OG為△EFC中位線，所以我們只要求出OG的長，問題即可解決；

由切線性質可知∠BOC=90°，于是在Rt△BOC中，利用勾股定理求出OB=√15，再分別在Rt△BOG和Rt△COG中利用勾股定理列方程（雙勾股法）得OB2-BG2=OC2-CG2，可證CG=FG，不妨設CG=FG=m，則15-(4-m)2=1-m2，解得m=1/4；

最后在Rt△COG中利用勾股定理求出OG=√15/4，所以CE=√15/2，結果得到AE=x=a=2-√15/2.

解題反思

“雙圖”題型在2023年全國各地中考的難度分布并不相同，但基本上都位于選擇題壓軸處，如下圖：

也就是說，這一類題型屬于中檔題，承擔區分中等生和后進生的任務，數學閱讀能力不足，學科素養不夠的學生，很難迅速給出正確解答。

在解題過程中，隱圓C非常重要，它是理解為什么∠OBC最大時，OB與圓C相切的關鍵，而切線是垂線OG的引子；在思路分析過程中，我發現學生理解函數圖象的困難在于不會將兩圖進行對照，定長線段EF的運動，源于自變量x，即AE長，因變量是y，而CF2=y，也可解讀成CF=√y，這兩個變量在函數圖象上給出了幾個特殊位置的坐標，這些位置需要對照幾何圖形去理解，點運動到何處，線段有多長，角度有多少等。

學生數學核心素養的高低在課堂上完全能夠呈現出來，僅以此題為例，閱讀能力不足的學生，無法從函數圖象中獲取運動信息，或者獲取到錯誤的信息，觀察能力不足的學生，找不到點O運動的軌跡，從而無法理解∠OBC最大時圖中各線段的位置等，本題對學生的區分非常有效，作為一道填空壓軸題，十分適合。