解法的盡頭是概念——圓折疊類問題

我們在學習圓概念的時候，都會牢牢記住兩段描述，如下圖：

從教材配圖中，我們發現，引入圓概念的最佳操作是圓規畫圓，這在后面引入弦、弧、圓心角等概念的時候同樣適用。

在學習了圓的軸對稱性和旋轉對稱性之后，與圓有關的圖形會更加靈活多變，但無論涉及到何種精妙的解法，追根溯源的結果，仍然是圓的概念。本文以兩道選填題為例，探討一下關于圓的折疊問題。

第一道題

如圖，AB是圓O的直徑，BC是圓O的弦，先將弧BC沿BC翻折交AB于點D，再將弧BD沿AB翻折交BC于點E，若弧BE=弧DE，設∠ABC=α，則α所在的范圍是（ ）

A、21.9°<α<22.3° B、22.3°<α<22.7°

C、22.3°<α<23.1° D、23.1°<α<23.5°

試題分析

本題中所有的弧，均為同圓或等圓中的弧，這一層認知是后續所有推導的前提，如果沒有意識到這一點，將無從下手。

我們有必要先觀察∠ABC，確定它的身份是圓周角，但在圖中眾多的弧中，它是哪段弧所對的圓周角呢？

答案是弧DE、弧CD、弧AC均為它所對的弧。

我們先從弧DE開始，它是弧BD的一半，即弧BD=2弧DE，顯然弧BD+弧CD=弧BC，即弧BC=3弧DE，弧BC所對的圓周角是∠CAB，于是我們連接AC，即可得到結果，如下圖：

直徑AB所對圓周角為直角，于是3α+α=90°，求得α=22.5°，本題選B

順便說一下，這是2021年武漢市中考數學第9題，按當年的難度設置，并非最難選擇題，而且這四個選項明顯是“防猜設計”，看上去是動點問題，實質上是靜態圖形。

在解這道題的過程中，方法很多，但個人認為，利用同弧所對的圓周角相等為最優解，這部分概念在教材“五合一”定理教學中，在這部分章節中，我們期望學生在看圖時，將弧、弦、弦心距、圓心角、圓周角視為“一體”，知一推四，見一想四。題中沿弦BC翻折，再沿AB翻折，這兩次軸對稱變換，并沒有改變這些弧是等弧的事實，原因是它們都是從同一個圓中變化而來，若是將它們各自所在的圓作出來，也可以發現它們都是等圓。在這個前提下，同一個圓周角就有可能是多段弧所對，這也是命題中最為巧妙的一點。

第二道題

如圖，已知△ABC是圓O的內接三角形，圓O的半徑為2，將劣弧AC沿AC折疊后剛好經過弦BC的中點D，若∠ACB=60°，則弦AC的長為______________

試題分析

我們依然先來觀察圖中的弧，弧AC折疊后成為弧ADC，它們是等弧，折疊后再觀察∠ACB，這個60°角所對的弧是弧AD，同時也對著弧AB，所以我們知道弧AD=弧AB，由“五合一”可知弦AB=弦AD，不妨連接AD，此時出現的△ABD是等腰三角形，如下圖：

接下來的任務是尋找半徑與弦AC間的關聯，由弦AB所對圓周角是60°，我們可連接OA、OB，得等腰△AOB，利用特殊等腰三角形邊長比，求得AB=2√3，對于等腰三角形，最為特殊的線是底邊上的高，于是作AE⊥BC于點E，如下圖

圖中出現了特殊直角三角形，含60°角的Rt△ACE，再結合前面得到的等腰△ABD，我們設BE=DE=x，則CD=2x，表示出CE=3x，AC=6x，AE=3√3x，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程得(2√3)2=x2+(3√3x)2，解得x=√21/7，最后得到AC=6√21/7.

從解題到教學

這兩道題共同的特點是出現了圓的翻折或折疊，學生在理解這個操作的過程中，需要將它和學過的同弧(等弧)聯系起來，從解題失敗的學生那里了解到，多數并未想到翻折的結果是得到了等弧，進一步的追問后，關于等弧的理解，存在一知半解的情況，具體表現為提及等弧，能回答前提是在同圓或等圓中，但問及本題，卻沒有建立起翻折后的弧來自原來的圓，它們也是等圓，這個情景在課堂教學中未出現，學生第一次見到，限于本身能力不足，不能自主理解，需要老師引導。

但教材中是有折疊圓紙紙片情景的，如下圖：

在這部分教材的處理中，當時是為了引出垂徑定理，強調軸對稱性，讓學生側重觀察對折后重合的部分，并且對稱軸是直徑。

因此，把學生想不到歸咎于“書上沒有”是錯誤的。教材中的每個情景，都可能被挖掘成為命題素材，所以在前一節內容引入等圓或等弧概念的時候，就可以將這個情景展現出來。

同樣的，在教材中，由圓的旋轉不變性得到的結論中，關于“弧相等”的條件或結論，也有必要引入這個情景，以拓展學生的視角。

可以將這兩道題進行適當改編，簡化圖形和推理，作為概念延伸出現在課堂上。

任何學生解題過程中遇到的障礙，最終都需要與課堂上的概念學習關聯起來，同時也給教師的教學留下了反思空間，如何讓學生學得更好，歸根到底需要教師學習如何教得更好。