一

請你做下面這道有趣的題目：?????

親吻一只雌青蛙

你在森林探險，不幸被毒蜈蚣咬到，唯一能解除你毒性的方法是吻到一只雌性青蛙。

現在你面前有一只青蛙，背后有兩只。在你中毒且瀕臨死亡的時刻，你聽到背后傳來雄性青蛙特有的叫聲。

已知自然條件下，青蛙的性別比例為1:1，雌雄都會隨機叫，且聲音不同。

請問：為了增加吻到至少一只雌性青蛙的機會，你應該選擇吻前面的那一只青蛙，還是轉身吻背后的兩只青蛙？

我會在本文最后會給出這道題的答案。??

聰明如你一定會想起，這有點兒像那道著名的“兩孩難題”。

兩孩難題

某人有兩個孩子，其中至少有一個是男孩，那么兩個孩子都是男孩（也經常被表述為“另一個孩子也是男孩”）的概率是多少？

幾乎所有講述概率的書籍，都會用這道題來戲弄初學者，并且告訴他們，答案是1/3，而不是直覺上的1/2。????

請注意，我隨機在一本算得上專業的書上搬來了這道題，并且保留了原文中可能產生歧義的部分。????

對于引發各種爭論的“兩孩難題”，《牛津通識課：概率》的作者稱之為“臭名昭著”，他說這類“詭計問題”(trickquestions)被設計成說服你概率這門學科是有違常識的。

有人說這道題是關于條件概率的。

也有人說，這類題完全是文字游戲。?????

二

這道看似簡單的問題并沒那么簡單。??????????

最近看了一本《簡單有趣的金融數學》，作者是美國三院院士，譯者一位是教授，一位是基金經理。書中有這樣一道題：????

在金融世界中，一個關鍵點在于理解應如何利用信息為自己謀利。

有時，那些看起來甚至毫無關系的信息也可能是非常有用的。用兩個孩子的例子進行說明，假設杰奎琳被邀請與朋友的家人共進晚餐。杰奎琳只知道她的朋友有兩個孩子。考慮以下兩種情形：

（1）當杰奎琳按門鈴時，一個可愛、有禮貌的小女孩開門說：“你好，我的名字是安妮。請進。”

（2）當杰奎琳按門鈴時，一個流著鼻涕的小女孩艾米開門說：“走開，我不想讓任何人進來！因為我是年紀最小的，你們都要聽我的。”

請你分別計算兩種場景下家里的另一個孩子是男孩的可能性。

作者寫道：“在計算時，這兩種場景的答案發生了改變嗎？出人意料的是，確實發生了改變。”

該書給出的答案是：

情形（1）時，答案是2/3；???????

情形（2）時，答案是1/2。?

該書給出的解答過程如下：?

杰奎琳在第一個情形中只知道兩個孩子中的一個是女孩，這意味著她的朋友不可能有兩個男孩。

因此，樣本空間是{男女，女男，女女} ，這三個事件中的任意一個都是等可能的，因此每個事件現在都有1/3的概率。其中，另一個孩子是女孩的唯一可能是 GG，剩下的兩種可能均表示另一個孩子是男孩，因此有一個孩子是男孩的概率是2/3。

第二個情形提供的信息和小女孩的態度無關，而應該注意到年紀最小的孩子是女孩。因此，可能發生的事件既不是“女男”也不是“男男”（它們表示年紀最小的孩子是男孩）。實際的樣本空間是{男女，女女} ，因此，另一個年紀更大的孩子是男孩的可能性是1/2。

然而，這道題對情形（1）的解答是錯的。????

質疑一位院士的專業領域，通常是大概率犯錯的愚蠢行為。

《簡單有趣的金融數學》是本好書，即使我可能是對的。?????

三

我用視覺化的方式來解答如下。?

朋友家里有兩個孩子，所有組合如下：

{男女，女男，女女，男男}

情形（1）中，一個叫安妮的女孩來開門，所以排除了兩個都是男孩的可能性，對應下面：????????

對應，于是作者認為，有2/3的可能是一男一女的組合，所以有一個男孩的可能性是2/3。

這里犯了一個錯誤。

假如題目是“已知朋友家里至少有一個女孩”，那么可以說，從樣本空間的分布來看，有1/3的可能性是“女女”家庭。???

但是，我們收到的信息是“一個叫安妮的女孩來開門”，也就是說，親眼看見了一個女孩，描述如下：

如上，“親眼看見了一個女孩”，是指通過觀察，看到了如上打紅勾的四種可能。

這四種可能性中，有兩種都來自“女女”家庭。

即使每次只能看見一個孩子，“女女”家庭令客人“觀察到一個女孩”的可能性，是“一男一女”家庭“觀察到一個女孩”的可能性的兩倍。????

所以，有50%可能性來自一男一女的組合。??

（在此我省略了情形2的類似推理，正確答案也是1/2。）

請注意，這道題可能因為語言表達而產生歧義。但我不打算在該方向展開。

四

也許用一個物理世界的例子，可以令我們的討論更直觀一些。

雙開關燈泡

一個電路中包含兩個并聯的開關（開關1和開關2），它們共同控制著一只燈泡。

假設每個開關閉合（即“接通”）的概率為50%，斷開（即“不接通”）的概率也是50%。

現在觀察到這只燈泡是亮的。在這個條件下，請問兩個開關都處于閉合狀態的概率是多少？

這個問題涉及到條件概率和貝葉斯定理，解答如下：

首先，我們知道燈泡亮意味著電路至少有一個開關是閉合的。在兩個并聯開關的設置中，有以下可能性：

一、開關1閉合，開關2閉合；

二、開關1閉合，開關2斷開；

三、開關1斷開，開關2閉合；

四、開關1斷開，開關2斷開。

由于燈泡亮了，我們可以排除第四種情況（兩個開關都斷開）。

因此，只剩下三種情況。

因為每個開關閉合或斷開的概率都是相等的，所以在前三種情況中，有一種是兩個開關都閉合。?

所以，答案是1/3。???

也就是“一開一關”的概率是2/3。?

這道題的關鍵是：觀察到燈泡是亮的，等價于“至少有一個開關是接通的”。

因為并聯的物理原理，以及接通的結果是顯性的，以及不接通的結果是隱性的，所以觀察燈泡亮，是一種上帝視野的統計學結果。??

但是，在上面，觀察到一個孩子是女孩，是一個局部行為，并不等價于“至少有一個孩子是女孩”。???

五

“至少有一個是女孩”，與“親眼看見一個是女孩”，并非一回事情。

這個是關鍵。

這二者直接的差別，可以從空間、時間兩個維度的“整體與局部關系”來揭示。

1、先看空間維度的“整體與局部關系”。

“至少有一個是女孩”，不能確保你親眼看見的那個就是女孩。

盡管你可以由“親眼看見一個是女孩”推理出“至少有一個是女孩”，但是，你不能由“至少有一個是女孩”推理出“親眼看見一個是女孩”。

我用畫圖來形象描述一下：

如上圖所示，從觀察的角度看，“親眼看見一個是女孩”被包含于“至少有一個是女孩”。

2、再看時間維度的“整體與局部關系”。

“至少有一個是女孩”，是上帝視角的統計結果；

“親眼看見一個是女孩”，是人肉視角的觀察結果。

我用時間維度來說，未必精確，但大致是一個形象化的描述，如下圖：

所以，電路并聯那道題，觀察到燈泡亮，結果是基于上帝視野的，可以得出“一開一關”的概率是2/3；?????

而兩孩問題，觀察到一個是女孩，結果是基于個體觀察的，得出“一男一女”的概率是1/2。

六

回到本文開頭的親吻青蛙的問題。??????

寫到現在，我打算將這道題留給聰明的你。??????

出這道題的某個視頻，給出的答案是：

你應該回頭，去舔身后的兩只青蛙，吻中雌青蛙的概率是2/3。 ??

你認為這個計算正確嗎？

甚至ChatGPT（在我糾正它之前）也給出了一樣的解答：

我們聽到了一只雄性青蛙的叫聲。這個信息告訴我們，至少有一只雄性青蛙。這里有三種可能的性別組合：

1、雌性/雄性（FM）

2、雄性/雌性（MF）

3、雄性/雄性（MM）

在這三種情況中，只有一種情況（MM）是沒有雌性青蛙的。因此，你有2/3的概率找到至少一只雌性青蛙。

在我質疑了AI之后，它又給出了新的計算：

在這種情況下，我們聽到了雄性青蛙的叫聲，這意味著我們排除了兩只都是雌性的可能性（FF）。剩下的組合有：

1、第一只是雄性，第二只是雌性（MF）；

2、第一只是雌性，第二只是雄性（FM）；

3、第一只是雄性，第二只也是雄性（MM）。

我們聽到了雄性青蛙的叫聲，但我們不知道是哪一只雄性。

在MM組合中，每只雄性青蛙都有可能是發出叫聲的那一只，所以這個組合實際上在概率計算中計為兩倍。

因此，我們有以下四個可能的觀察結果：

1、觀察到的雄性來自MF組合（1種可能性）；

2、觀察到的雄性來自FM組合（1種可能性）；

3、觀察到的雄性來自MM組合（第一只是發聲者，1種可能性）；

4、觀察到的雄性來自MM組合（第二只是發聲者，1種可能性）。

在這四種可能性中，兩種情況沒有雌性青蛙（第3和第4種），而另外兩種情況中有一只雌性青蛙（第1和第2種），計算如下：

這一次，它的答案又變成了1/2.??????

也就是說，親吻面前的一只青蛙，和掉頭親吻后面的兩只青蛙，活下來的概率是一樣的。? ???

最后

ChatGPT給出的兩個答案，你贊成那一個？

其實，還可以將這道題轉換為“雙開關燈泡”問題，例如設定后面的兩只青蛙都在叫，但是雌青蛙的聲音聽不見，并且分不出一只叫還是兩只叫......

也可以將該題轉換為變形的“三門問題”.....

但姑且如此吧。

本文的關鍵是引入了“上帝視野”的統計，和“個體視野”的觀察。??

這是一個有趣的視角。????????????

能夠令如此多專家都犯錯的話題，的確很好玩兒。

概率是一片樂趣無窮的游樂場，令我等業余愛好者也能與“權威”共耍。??

那么，回到本文開篇的問題，你會選擇親吻面前的一只青蛙，還是在聽見有只雄青蛙叫后，轉身親吻后面的兩只青蛙？

祝你好運氣，吻到一只雌青蛙。

（完）