真假學(xué)霸一題現(xiàn)——解題中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

一直以來，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為了熱門名詞，動(dòng)不動(dòng)就是培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng)，然而實(shí)質(zhì)上依舊是刷題押題那一套，在命題改革之前，或許還會(huì)有市場，然而隨著數(shù)學(xué)命題的進(jìn)一步深化改革，在命題層面注重考察學(xué)生的核心素養(yǎng)，最大程度避免了試題命制套路化、模式化，這令許多以舊有教學(xué)模式為主的班級(jí)，學(xué)生出現(xiàn)明顯的不適應(yīng)。并不是說數(shù)學(xué)命題越來越難，事實(shí)上，細(xì)看每一道試題，都有章可循，不至于令人摸不著頭腦，真正做到了“難亦有道”。

本題取材于人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第64頁數(shù)學(xué)活動(dòng)，如下圖：

這節(jié)活動(dòng)課怎么上，直接決定了學(xué)生能否通過該活動(dòng)達(dá)成核心素養(yǎng)培養(yǎng)的階段性任務(wù)，如果簡單把它變成習(xí)題課，弄一堆折疊問題的試題給學(xué)生完成，個(gè)人認(rèn)為并不算達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。而按刷題模式學(xué)習(xí)出來的所謂學(xué)霸，也終將落出馬腳。

題目

實(shí)踐操作：

第一步：如圖(1)，將矩形紙片ABCD對(duì)折，折痕為EF，使邊AD與BC重合.

第二步：如圖(2)，將紙片EBCF對(duì)折，折痕為GH，使邊EF與邊BC重合，將紙片EBCF展平.

第三步：如圖(3)，將紙片EBCF沿過點(diǎn)B的直線再次折疊，折痕為BM，使點(diǎn)E落在GH上的點(diǎn)N處，將紙片ABCD展平.

問題解決：

(1)在圖(3)中，求證：∠MBN=30°；

(2)如圖(4)，若AB=4√3，延長BM交AD于點(diǎn)P，將紙片ABCD沿過點(diǎn)P的直線再次折疊，折痕為PQ，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F恰好也落在GH上的點(diǎn)N處.

①求PN的長；

②猜想∠FPQ的大小，并證明你的結(jié)論.

解析：

01

(1)我們依據(jù)八年級(jí)軸對(duì)稱知識(shí)，可輕松完成，如下圖：

連接EN，由折疊可知EN，BN關(guān)于GH軸對(duì)稱，于是EN=BN，又BE，BN關(guān)于BM軸對(duì)稱，于是BE=BN，所以我們得到了等邊△BEN，∠EBN=60°，而它的一半∠MBN=30°；

當(dāng)我們?cè)诰拍昙?jí)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，它又有新的解法，在Rt△GBN中，可證明斜邊BN=2BG，于是cos∠GBN=1/2，同樣可得到∠GBN=60°，于是∠MBN=30°；

02

(2)①我們?cè)谇耙粋€(gè)圖形中容易得到∠ABM=30°，延長BM之后，Rt△ABP是含30°角的直角三角形，同樣容易得到BP=8，記EN與BM交點(diǎn)為K，如下圖：

對(duì)于等邊△EBN，BK是它的高，于是可求出EK=√3，BK=3，所以PK=BP-BK=5，在Rt△PKN中，KN=EK=√3，由勾股定理求出PN=2√7；

②由PN，PF關(guān)于PQ軸對(duì)稱，可知PF=2√7，于是在Rt△PDF中，DF=2√3，由勾股定理求出PD=4，所以AD=8；

連接NF，如下圖：

我們首先證明∠NEF=∠NBP=30°，又有BN=EN，再加上EF=AD=8=BP，可得到△BNP≌△ENF，于是PN=FN，現(xiàn)在又得到一個(gè)等邊△PNF，因此∠FPQ=30°.

教學(xué)思考

本題是八年級(jí)數(shù)學(xué)試題，因此不建議用超過課標(biāo)的內(nèi)容去教學(xué)生解題。

我們?cè)诎四昙?jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期的學(xué)習(xí)中，第18章平行四邊形占據(jù)了相當(dāng)?shù)钠S多中考幾何壓軸題均以四邊形作為背景設(shè)計(jì)命題，因此在這章結(jié)束時(shí)安排的數(shù)學(xué)活動(dòng)意義非凡，在教參上注明了“這個(gè)活動(dòng)既有動(dòng)手操作，又有一定趣味性，還可以復(fù)習(xí)矩形的性質(zhì)、三角形全等以及直角三角形等知識(shí)?！痹谶@段描述中，把動(dòng)手操作放在前列，意味著數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生動(dòng)手操作是必不可少的環(huán)節(jié)，因此回憶我們自已的數(shù)學(xué)課堂，在這一章結(jié)束時(shí)，有沒有安排學(xué)生完成這一數(shù)學(xué)活動(dòng)，還是以做題目代替操作？

數(shù)學(xué)動(dòng)手操作的意義又在哪里？有幸于2023年8月杭州學(xué)習(xí)時(shí)，聆聽了專家趙維坤老師的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)講座，在各種極富想像力的教具背后，其重要的思想就是通過操作，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念及相關(guān)性質(zhì)，由此可見，數(shù)學(xué)活動(dòng)中的操作無可替代。

回到這節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，活動(dòng)一正是本題第1問，紙片對(duì)折即軸對(duì)稱變換，事實(shí)上我們可以得到△BEN的兩條對(duì)稱軸GN和BM，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，可以輕松得到第2問中的Rt△PKN，問過許多未解出來的學(xué)生，這一處均未想到。

因此在這節(jié)課中，究竟是什么原因?qū)е聦?duì)這條性質(zhì)的認(rèn)知不足？個(gè)人認(rèn)為，學(xué)生的一句話或許能解釋一二，“平時(shí)沒用過”，可是當(dāng)我翻開教材，僅第18章后的復(fù)習(xí)題18中，就有不少需要學(xué)生操作的習(xí)題，第3題、第9題、第10題、第15題需要作圖，第4題需要用繩子檢查，第11題需要用紙板操作，這個(gè)比例相當(dāng)高了，那種題目直接給出圖形并用數(shù)學(xué)語言描述條件的，約一半多，說明整個(gè)章節(jié)復(fù)習(xí)題，接近一半要求學(xué)生動(dòng)手操作，要么作圖，要么用教具。所以，到底是學(xué)生自已“平時(shí)沒用過”，還是老師要求“平時(shí)沒用過”？

也許教輔“平時(shí)沒用過”才是真相吧！

當(dāng)我們完成解題之后，再回過來看圖形，其實(shí)點(diǎn)P是AD中點(diǎn)，并且整個(gè)矩形紙片展平后，依然沿BP對(duì)折，點(diǎn)A也落在EF上，同時(shí)延長PA'之后，它一定經(jīng)過點(diǎn)C，從而構(gòu)成一個(gè)更大的等邊△BPC，原來這個(gè)矩形經(jīng)過了精心設(shè)計(jì)，它的兩邊分別是4√3和8，之所以進(jìn)行上述研究，是因?yàn)樵诮處熝蓄}過程中，我們需要精確作圖，使用幾何畫板作圖，必須對(duì)圖形有更深入全面的了解，否則作圖步驟“沿PQ折疊，使點(diǎn)F恰好落在N處”不容易實(shí)現(xiàn)。

通過不同的操作體驗(yàn)，讓學(xué)生從不同角度、不同層面去理解數(shù)學(xué)，才有更接近本質(zhì)，從而培養(yǎng)核心素養(yǎng)。這句話不僅僅是說說，更需要落實(shí)到每一節(jié)數(shù)學(xué)課，以最有利于學(xué)生成長的方式呈現(xiàn)出來，這背后需要大量精心的教學(xué)設(shè)計(jì)、作業(yè)設(shè)計(jì)，這就是目前我們每一位數(shù)學(xué)教師面臨的挑戰(zhàn)。

在編寫《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》一書中，有大量來自一線教師對(duì)全國各地中考?jí)狠S題的研究，其中不少教學(xué)思考都提到了數(shù)學(xué)操作對(duì)于提升學(xué)生素養(yǎng)的作用，非常深刻，值得進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究。例如針對(duì)無圖壓軸題或需要作用探究的壓軸題，學(xué)生作圖能力如何培養(yǎng)等，這和本題的教學(xué)思考基本一致。

教研參考書籍推薦

《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》（張欽著）