一題多解，各顯神通

2023年北京中考數學第27題

優秀的初中幾何壓軸題，通常情況下入口較寬，以容納不同思維習慣的學生，無論擅長哪種幾何構型，都能找到不同的解題思路。對于學生而言，解題思路一定要從題目條件出發，順藤摸瓜，分析每個條件背后的含義，將可能推導出的結論連接成知識網絡；對于教師而言，命制一道優秀的幾何題，離不開對平時教學的研究，特別是幾何圖形間的內在聯系。

題目

在△ABC中，∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AM⊥BC于點M，D是線段MC上的動點(不與M，C重合)，將線段DM繞點D順時針旋轉2α得到線段DE.

(1)如圖1，當點E在線段AC上時，求證：D是MC的中點；

(2)如圖2，若在線段BM上存在點F(不與B，M重合)滿足DF=DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明.

解析：

01

(1)我們首先連接ME，由旋轉可知，△DME為等腰三角形，如下圖：

因為∠EDM=2α=2∠C，且∠EDM是△CDE外角，于是∠DEC=∠C，得DE=DC，我們得到DE=DC=DM，即點D是MC中點；

02

(2)緊接前面的思考，尋找前后兩小問間的聯系，現在點D依然是中點，但不是MC中點，而是FC中點，由旋轉DE=DM且∠EDM=2α依然成立；

然后我們分析出現在BC邊上的兩個中點M和D，BM=CM=1/2BC，DF=DC=1/2CF，其中BC-FC=BF，CM-DC=DM，所以我們還能得到DM=1/2BF，考慮到線段DM的端點D為中點，因此我們可構造中位線模型，如下圖：

01

方法一

延長FE至點G使EG=FE，連接AG，CG，AF，顯然DE是△CFG中位線，因此DE=1/2CG，于是BF=CG，再加上AB=AC，觀察圖中的△ABF和△ACG，我們來證明它們全等，現在只差一個條件即夾角相等；

由中位線DE∥CG，得∠DCG=∠MDE=2α，所以∠ACG=α=∠B，于是△ABF≌△ACG，所以AF=AG，在等腰△AFG中，由三線合一可證AE⊥FG，即∠AEF=90°；

繼續探索新的解題思路：

02

方法二

連接AF之后，在Rt△AFM斜邊上取中點G，再連接DG，我們又得到一條中位線，如下圖：

再連接GM，GE，由直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，可得GM=1/2AF，由DG∥AC可得∠MDG=∠C=α，于是∠MDG=∠EDG=α，所以可證明△MDG≌△EDG，得到GM=GE，我們證明了GE=1/2AF，接下來可利用三角形內角和證明∠AEF=90°；也可證A、E、F三點共圓，從而∠AEF=90°；

在前面的探索過程中，我們還可以選擇另一條路：

03

方法三

連接AF，EM，過點D作EM的垂線DG，如下圖：

這顯然是利用等腰△EDM中三線合一，得到Rt△DMG，以及∠MDG=α，其中∠MDG+∠DMG=90°，∠AME+∠DMG=90°，所以∠AME=∠MDG=α=∠B，我們觀察△ABF與△AME，推導如下:

于是我們能證明△AME∽△ABF，并由這一對相似三角形得到AM:AB=AE:AF，再證明∠BAM=∠FAE，即可得到第二對相似三角形，△ABM∽△AFE，于是∠AEF=∠AMB=90°；

探索到這個份上，已經出現過多次直角三角形，顯然我們還可以利用共圓來證明：

04

方法四

我們將DE延長，交AC于點G，連接AF，FG，EM，如下圖：

借助第1問的推導，我們可證明DC=DG=DF，于是點C、F、G三點共圓，且CF為直徑，所以∠FGC=90°，于是得到另外一個直角三角形，Rt△AFG，再觀察Rt△AFM，它們有公共斜邊，于是A、F、M、G四點共圓，不妨作出這個圓，可知DG與圓相交于點E，即點E也在這個圓上，于是直徑所對圓周角∠AEF=90°.

解題反思

本題解法還能繼續探索，和已有的中位線、全等三角形、相似三角形、圓等思路相比，不過是不同的排列組合，也就是說，無論學生對以上主體思路中哪一種較為擅長，終能找到適合自已的方法。

對平時教學的指導意義，本題圖形結構較為簡單，一個等腰三角形，一個動點，賦予旋轉和中點意義之后，整個圖形就活了，既能構造旋轉全等或相似，也可以構造中位線，并且相互關聯得到更多新的結論，其中豐富的直角三角形，除了用于導角之外，還可以借助斜邊上的中線，以及尋找共斜邊的直角三角形，發現隱圓，從而由直線型跳到圓弧型構圖。我們在初中三年的幾何教學中，是否引導學生深入理解圖形構造，顯得極為重要。在解題思路的引導上，上述方法均由條件出發，借助平時例題或習題中的常見思維，得到最后的結論，所以在課堂教學中，也需要做到緊貼教材，不出現偏、難、怪的習題。

這道幾何壓軸題，僅僅用八年級數學知識，也能求解，并且難度不低，一道題目的區分度，不一定非要用九年級知識，這不禁令我想起了講過的那年溫州一次函數壓軸題，命題者沒有給自已設定條條框框，也沒有出現思維慣勢，我的思考是，為什么幾何壓軸題一定要用某種模式？不僅束縛了命題，也束縛了教師備考，更束縛了學生思維。

解題教學一直是初中數學教學的重要組成部分，在張欽博士主編的《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》一書，便從全國各地壓軸題中遴選，并由一群熱愛數學教學的教師編寫，此書非常適合青年教師閱讀，從中獲得成長，強烈推薦！

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）

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