有始有終，方得路徑

在幾何壓軸題中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑問題，也稱軌跡問題，屬于常見題型，即使在函數(shù)壓軸題中，與之相關(guān)的也不少，無論是在幾何背景下或函數(shù)背景下，研究路徑問題始終繞不開的思路，就是確定起點(diǎn)和終點(diǎn)，沿什么樣的線運(yùn)動(dòng)。在八年級(jí)階段，路徑問題基本上是一條線段的長，而到九年級(jí)，學(xué)習(xí)了圓和二次函數(shù)、雙曲線之后，則路徑可能是曲線，不過多數(shù)路徑是在圓上，畢竟初中階段拋物線上或雙曲線上一段曲線的長度，不在課標(biāo)要求范圍內(nèi)。

本文主要研究八年級(jí)數(shù)學(xué)中的一道路徑長度的壓軸題，其主要的突破口便在于找準(zhǔn)動(dòng)點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，然后尋找求線段長度的方法。

題目

已知，點(diǎn)E是△ABC的中線AD上一動(dòng)點(diǎn)，EF∥AC，BF∥AD交EF于點(diǎn)F，連接AF.

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，求證：AC=DF；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D不重合時(shí)，延長CE交AB于點(diǎn)G，交BF于點(diǎn)H.

①判斷四邊形ACEF的形狀，并說明理由；

②如圖3，若△ACD的邊AD=5，以BF為腰作等腰直角△FBQ，連接HQ，點(diǎn)M為HQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A過程中，請直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長.

解析：

01

(1)由條件EF∥AC得∠C=∠FDB，由BF∥AD得∠ADC=∠FBD，由AD是中線得CD=DB，因此得△ACD≌△DFB，如下圖：

所以AC=DF；

02

(2)①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D不重合時(shí)，不妨先觀察前面得到的全等三角形是否依然存在，即△ACE與△FEH，兩組平行線得到的兩對(duì)同位角依然相等，∠ACE=∠FEH，∠AEC=∠FHE，由點(diǎn)D是BC中點(diǎn)且DE∥BH，可知DE是△BCH的中位線，所以點(diǎn)E是CH中點(diǎn)，即CE=EH，因此△ACE≌△FEH，如下圖：

我們可得AC=FE，于是AC與FE平行且相等，所以四邊形ACFE是平行四邊形；

②在圖中，點(diǎn)E是源動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由BF∥AD可知BF的位置不變，但長度發(fā)生改變，因此等腰直角△FBQ的大小也隨之改變，那么，點(diǎn)M到底是沿什么樣的路徑運(yùn)動(dòng)？

學(xué)生答題時(shí)沒有幾何畫板這等利器，因此我們采用控制起點(diǎn)和終點(diǎn)的辦法，找到運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置，當(dāng)E與D重合時(shí)，點(diǎn)M的位置作為起點(diǎn)，點(diǎn)E與A重合時(shí)，點(diǎn)M的位置作為終點(diǎn)，如下圖：

為了方便我們找到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑，我們在同一張圖中分別作出起點(diǎn)和終點(diǎn)，如下圖：

在上圖中，F(xiàn)'、Q'、M'均為起始位置，對(duì)應(yīng)的F、Q、M為終點(diǎn)位置，當(dāng)點(diǎn)E從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)時(shí)，由平行四邊形ACEF得AC=EF即點(diǎn)A成為CF中點(diǎn)，而由前面已證的全等三角形可得AE=FH即點(diǎn)F'成為BH中點(diǎn)，這樣在圖中BF'=AD=BQ'=5，而對(duì)于△BHQ，MQ'是中位線，因此MQ'∥BH且MQ'=5，這樣在Rt△MM'Q'中，我們可以利用勾股定理求出MM'=5√5/2.

解題反思

在初中階段的運(yùn)動(dòng)路徑問題，通常情況下分為直線型和曲線型(圓弧型)，八年級(jí)則只涉及到直線型，因此求路徑長多數(shù)情況下是求線段長，因此確定線段的端點(diǎn)是首要任務(wù)，對(duì)學(xué)生而言，必須明確動(dòng)點(diǎn)沿哪條線段運(yùn)動(dòng)，起點(diǎn)和終點(diǎn)分別在何處，這是通法。

本題前兩小問一脈相承，這種階梯式設(shè)置問題，對(duì)學(xué)生比較友好，實(shí)質(zhì)也是對(duì)學(xué)生深入研究問題的一種引導(dǎo)，若是兩個(gè)問題之間毫無關(guān)聯(lián)，就有拼湊嫌疑了。這種命題設(shè)置也是對(duì)新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行有效引導(dǎo)，從簡單問題開始，逐步加深，考查學(xué)生知識(shí)遷移的能力。我們在教學(xué)中其實(shí)也是如此，課堂上的內(nèi)容永遠(yuǎn)是面對(duì)全體學(xué)生，難度并不會(huì)很高，但數(shù)學(xué)問題本身卻不會(huì)止步于課堂，必然有所拓展，于是在課堂上，除了教會(huì)學(xué)生最基本的知識(shí)和技能之外，需要注重課堂的延展性，也就是俗話說的“讓學(xué)有余力的學(xué)生吃飽”。

第三問“直接寫”，則是明顯讓學(xué)有余力的學(xué)生不再糾結(jié)于書寫過程，更加看重?cái)?shù)學(xué)思維，若是對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題沒有一定認(rèn)知，再多刷題也是無用，相應(yīng)的，若是達(dá)到一定認(rèn)知程度，對(duì)于這部分學(xué)生而言，確實(shí)可以秒殺。

動(dòng)點(diǎn)問題的研究過程中，作圖是十分有效的方法，學(xué)生作圖的準(zhǔn)確性，不是一蹴而就的事，學(xué)生用繪圖工具作出準(zhǔn)確的圖，這要在課堂上經(jīng)常進(jìn)行，熟練使用繪圖工具，并理解繪圖步驟背后的推理，這有助于培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀，當(dāng)這種幾何直觀達(dá)到一定程度，無圖便勝有圖了，甚至不用動(dòng)手，腦海中自動(dòng)作圖，這便是秒殺的秘密。

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《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》（張欽著）

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