正方形背景下的線段和最值問題

在人教版八年級數學中，四邊形章節內容最為豐滿，它上承全等三角形、軸對稱變換、勾股定理，下接相似三角形、圓，是八年級下學期的重點章節之一，甚至在中考壓軸題里，不乏它的存在。

2024年省考在即，便以一道武漢八年級幾何壓軸題為例，探索幾何解題教學的方向，明確到底怎么考，確定以后怎么教。

題目

已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，M是AO上一點.

(1)如圖1，AQ⊥DM于點N，交BO于點Q；

①求證：OM=OQ；

②若DQ=DC，求(NQ+MN)/DM的值；

(2)如圖2，M是AO的中點，線段EF(點E在點F的左邊)在直線BD上運動，連結AF、ME.

若AB=4，EF=√2，則AF+ME的最小值是_________，當AF+ME取最小值時DF的長為_________.

解析：

01

(1)①第一個結論非常容易得到，圖中可證明△DOM≌△AOQ，從而得到OM=OQ；

②新增DQ=DC條件，我們立刻可以得到等腰△ADQ，在這個等腰三角形中，AQ⊥DM可以推導出點N是AQ中點，理由是三線合一；同時點N還是Rt△AOQ斜邊上的中點，這使我們聯想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，因此連接ON，順便在另一個Rt△DOM內，我們也作其斜邊上的中線OG，如下圖：

由于在前面已經證明了△DOM≌△AOQ，所以根據全等三角形對應線段相等，得到OG=ON，也能證明OG⊥ON，因此得到等腰Rt△GON；

為方便推導線段間的數量關系，我們不妨設NQ=x，則ON=OG=x，NG=√2x，DM=2OG=2x

于是NQ+MN=NG=√2x，所以(NQ+MN)/DM=√2/2；

02

(2)在八年級階段，涉及到最值問題的兩大基本定理是“兩點之間，線段最短”、“垂線段最短”，在本題中，兩條線段和的最小值，我們得想辦法將它們“拼”到一處，基本思路就是尋找另一條線段，無論EF在什么位置，都能保證分別等于AF和ME；

由正方形的軸對稱性，我們很快可以找到一條始終等于AF的線段，連接CF，于是AF=CF；

ME又會與哪條線段相等呢？

由條件EF=√2我們發現，圖中長度等于√2的線段還真不少，例如OM、AM，可惜這兩條線段雖然長度與EF相同，但是“方向”不同，若要都相同，也不是辦法，我們取AD中點H，連接MH，如下圖：

由于MH是△AOD中位線，因此MH∥BD，且MH=1/2OD=√2，這樣我們得到MH與EF平行且相等，于是能證明平行四邊形EFHM，所以ME=HF；

現在我們成功地將AF和ME分別用CF、HF替代，其中點H、C是兩個定點，根據“兩點之間，線段最短”可知，連接CH之后，即能得到最小值，如下圖：

由勾股定理求出CH=2√5，此時過點F分別作FN⊥CD，FK⊥AD，易得FN=FK，由面積法來求FN長度，S△CDH=4，S△DHF=1/2DH·FK，S△CDF=1/2CD·FN，得方程4=FN+2FN，解得FN=4/3，所以DF=4√2/3.

解題反思

從這道題的三個小題的設置中，我們可以發現源頭是正方形中的常見全等三角形，△DOM與△AOQ，前者繞點O逆時針旋轉90°后得到后者，以旋轉變換作為基本思路，來設置其中的特殊位置，即第二個問題，求比值；

在第2小問中，突破口其實暗示得很明顯，就是等腰△ADQ，三線合一，再聯想直角三角形斜邊上的中線，從而再一次構造出一個新的等腰直角三角形，這仍然是基于第1小問的結果；

在探索最值問題的過程中，學生往往知道兩個基本定理，但硬是想不到如何“拼”到一處，至少說明在八年級學習軸對稱章節時，對于飲馬問題的研究不夠深入，我們回到那節課上來看看：

人教版教材八年級上冊85頁，課題學習《最短路徑問題》中，有兩個問題：飲馬問題和造橋選址問題，分別利用了軸對稱和平移，完成了將兩條線段“拼”到一處，根據“兩點之間，線段最短”解決了問題，這兩個問題并不難，在多數課堂上，學生表現往往很不錯，在熱鬧的課堂氣氛中，作為教師，需要思考的是：他們是真的明白了？

所謂真的明白，是理解了為什么要用軸對稱和平移，“兩點之間線段最短”中的兩點是什么樣的兩點？線段又是如何連接的？等問題都明確知道結果，在實際教學中，有不少學生只是半懂，這直接反映在解題過程中，將兩個動點直接用線段連接起來，然后告訴大家，這條線段最短；或者在解題中，不知道該作哪個點的對稱點，不知道該以哪條線為對稱軸，這種種跡象表明，在這節課題學習中，教學還存在些許問題。

在課堂上，遇到不會的問題，聽老師講完，覺得理解了，是假象，這種理解，是知其然，而不知其所以然。上課的熱乎勁一過，遺忘便開始，而要解決這種遺忘，需要在課后進行思考，為什么我沒想到？老師是如何想到的？沿這條反思之路，很容易觸及數學的本質，這也是老師希望學生走的方向。

從教學角度，為什么學生在老師講完之后，仍然不能領悟，遇到同類型問題依然不會呢？是講得不夠多？還是不夠細？我覺得都不是，老師講只是單方向輸出，還要考慮學生的接收，消化，通常情況下，課堂上應留有余地，教學設計中要留白，這些空余時間就是給予學生反思的時間，畢竟在課堂上，在老師注視下，學生的反思很容易被捕捉，方向也可控，至少比學生回家后可控。

學生是否養成了反思習慣，和老師密切相關，學生最容易模仿的對象，就是老師，因此平時教學中的一舉一動，一言一行，都在向學生傳授，請問老師們，平時的教學，反思了嗎？

做好教學反思，并不是一件簡單的事，同時也不是一件難事，這兩句看似矛盾的話其實是統一的，它簡單在于，我們每天都能夠進行教學思考，隨時都可以思考，課后10分鐘，批改作業時，同事交流時，而難處在于，思考要有導向，不能流于形式。

從反思中學習，從反思中進步，活到老，學到老，是每位老師的“終身大事”。

如果不清楚如何反思，建議參考《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》(張欽著)，獲取方式如下：

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