精彩點評一

認真學習了鄒正陽老師分享的吉林長春第24題的研究成果。鄒老師提出將圖形的平移轉化為點的平移，進而闡述并總結了平面直角坐標系中關于點的平移和對稱特點以及利用這些特點如何解決函數中實際問題的可行方案。同時，鄒老師通過設計的兩個變式題目，展示了如何利用參數與函數圖象之間的關系解決相應的函數問題。這道長春24題動靜結合，在二次函數的背景下，考察了學生對平移知識，正方形的幾何特征，幾何圖形與函數圖象的交點個數的分類討論等的掌握情況。通過學習鄒老師分享的研究成果，再結合自己的教學情況，我有以下幾點自我反思：

一是在函數教學的過程中，養成學生規范作圖的習慣是十分必要的。最好讓學生形成拿到函數題目就動筆畫圖分析的“條件反射”。這道題目的第二問，我在自己做題的過程中，并沒有動筆計算就已經得到了點B的坐標，因為我用了“五點作圖法”，橫坐標取了-1，0，1，2，3，依次得到了相應的縱坐標3，0，-1，0，3，觀察函數圖象馬上可以得到函數的對稱軸，函數增減性，與x軸交點等重要信息，而根據題意要求的BC=4，通過觀察圖象就能得到點B坐標。當然，這里的點B只是碰巧和我取的點一致，但這個一致卻是我一直以來規范作圖取得的成果。所以教學過程中培養規范作圖的習慣，是學生利用數形結合解決問題的起點。

二是仔細分析題意，體會題意與函數概念之間的聯系。題中的第三問，縱坐標y隨x增大而增大，或者y隨x的增大而減小，對應的是正方形要么位于對稱軸的右側要么位于對稱軸的左側，只有明白了這個立意，才能夠解決后續問題。

三是轉化圖形的平移為點的平移，轉化函數的交點問題為點的坐標之間的大小關系。本道題目的“動態”體現在題目的第3小問和第4小問。正方形的中心即正方形對角線的交點，而該正方形的邊長為2|m|和一邊垂直與x軸即可以得到該正方形的一條邊一直位于y軸上，并隨著點A在拋物線上移動而上下移動。這樣圖形的平移就轉化為了點的平移，再通過交點的個數，結合作圖就可以很快解決。看美食節目的時候，常常聽到說最高端的食材往往只需要最簡單的烹飪，而在解決函數壓軸題這樣在學生看來是最難的問題的時候，回歸到函數最基本的概念和性質去解決，返璞歸真最是正道。

精彩點評二

2022年吉林省長春中考數學第24題是一道與拋物線有關的題。聽了鄒正陽老師的課，受益頗多，對一題多解，一題多變以及新課標下的教學理念有了撥云見日的新認識。

鄒老師結合圖形分析，從基本方法出發，總結出坐標與幾何的轉化方法：利用圖形的平移、對稱、旋轉找到坐標之間的關系；在解決一類參數問題時，善于注重畫出相對準確的圖形，并用具體的式子來表示出圖形中的相等或者不等關系，即數與形的轉化；巧妙地利用特殊點來確定分類討論的依據，做到不重復不遺漏；在解決問題的過程中循循善誘、層層推進、與一反三，充分體現了學生為主體教師為主導的教學理念；在教學反思環節中，多角度高質量的變式題真正的體現了一題多解一題多變的教學理念。

解題探究的過程就是一種觀察、嘗試、猜想、探索、實驗、論證、發現的過程，教師一定要帶領學生讀懂條件和結論，抓住題目中的條件特征、結論特征和圖形特征，從中尋找突破口。但作為教師，不僅僅是教會學生正確的答案和解題方法，更重要的是挖掘中考題的潛在功能和作用，提升教學能力。因此，在總結經驗、掌握通式和通法的基礎上，還要引導學生結合題目的特點一題多解、一題多變、一圖多變，拓寬思路，幫助學生在變式訓練中發展思維的靈活性與發散性?！敖庖活}，會一類，通一片”，讓學生由此及彼，并感悟出同類問題的深層結構，使得學生下次再碰到類似問題時能快速找到切人點，順利貫通思路，提升解題能力的同時，發展數學洞察力，訓練思維的深度，讓一題多解、一題多變成就精彩，讓課堂高效起來。

再次感謝張欽博士提供的多元高效的學習平臺，感謝鄒老師帶給我們的思維“盛宴”。

精彩點評三

2022年長春中考第24題，從教師解題角度，無疑整道題的難點在第3問和4問，尤其是本題沒有配圖，需要學生作圖，因此對學生構圖能力提出了更高的要求。這兩問中，圖形的變化較為復雜，首先拋物線是靜態的，正方形是動態的，這一動一靜相互影響，衍生出十分有趣的變化。

在第3問中，二次函數的單調性以對稱軸為界，左側單調減少，右側單調增加，解讀拋物線在正方形內部部分的單調性，需要判斷正方形不與y軸重合的邊與對稱軸的位置關系，學生需要明確正方形始終有一條邊與y軸重合，這就需要利用含m的代數式表示正方形四個頂點的坐標，并作出正確判斷；

在第4問中，拋物線與正方形有兩個交點的情況，需要分類討論，由于正方形的中心在拋物線上，因此拋物線與正方形始終存在交點，m≠0時，交點的數量可能有兩個、三個、四個，本問中只討論兩個交點的情況，所以需要弄清楚拋物線與正方形有兩個交點時，它們分別在哪條邊上。為研究它們的狀態，我用GeoGebra繪制了動態圖象，如下圖：

對于圖1來講，m<0，是最為容易想到的一類情況，對于借助軟件作圖的教師而言，所有情況一目了然，但是對于學生而言，必須通過規范作圖，以及在規范作圖基礎上對函數圖象的深入理解，再去想像，去驗證，所以我自已在解完題之后，疑問在于，如何讓學生想到圖2至圖6這許多類別的圖象？

帶著這些疑問，我認真學習了鄒正陽老師的研題直播，然后就很驚訝地發現，這些問題在研題過程中，均得到了很好的處理，鄒老師正是從學生角度出發去解讀為什么要這樣分類，為什么某種情況不成立，因為第4問是直接寫出答案，對過程書寫沒有要求，但對思維過程要求極高，我們平時給學生講題時，最頭疼的就是這類問題，教師解題是基于教師的理解，怎樣將教師的理解轉化成學生能理解的方式，是每一個數學老師必須認真面對的，否則就是茶壺里的餃子。

從鄒老師的研題中，我有如下思考：

一、函數圖象的理解究竟應該從何入手？

我們不妨回到一次函數的章節教學中，有一節內容其實對數形結合要求非常高，就是第19.2.3節一次函數與方程、不等式，借助一次函數，將方程、不等式“圖形化”，實際教學過程中，我自已也發現，前面在學習一次函數圖象性質的時候，學生理解起來相對容易一些，畢竟一次函數解析式中只有兩個參數k和b，并且幾何意義很簡單，k負責直線的傾斜程度和傾斜方向，b負責直線與y軸的交點位置，此處不著急引入斜率概念，斜率不是初中數學內容，個人認為在九年級學習了三角函數之后，可以嘗試讓部分學有余力的學生拓展，對于多數學生，按課標上的要求理解即可。當教學進行到函數與方程、不等式結合之后，學生對圖象的理解差距明顯加大，例如兩條相交直線y=ax+b與y=cx+d，交點坐標與方程組的解的關系，ax+b>cx+d的解集與圖象的關系等，都在考驗學生對一次函數圖象的理解。同時，在學習二元一次方程組時，學生難以理解的同解方程，利用一次函數概念也能很好地解釋，即兩條重合直線；還能通過判斷兩條直線的“上下”位置關系去尋找不等式的解集，這種方法還可以延伸至二次函數的學習中，當我們用一條垂直于x軸的直線作為標尺，從上至下，首先與哪條函數圖象相交，則表明在上方。

在二次函數圖象的理解上，復雜度相對一次函數更高，但其研究的方法是完全一致的，學生學習也應該以同樣的順序去漸進，可以說，在一次函數學習過程中，嚴格按照課標要求，充分發揮課堂上的學習作用，實在不必額外再增添“超綱”內容。

在幫助學生理解函數圖象的過程中，選題十分重要，講題更加重要，所選之題要符合學生的學段要求，千萬不能超，教師在講解時，要遵從學生的認知規律，不能想當然，要知道數學老師解題不同于學生解題，許多在教師眼中“顯然、易得”的東西，在學生看來并不那么容易得到，教師的任務，就是慢嚼細咽，讓學生眼前的題從簡單變得復雜，理解由復雜變得簡單，這需要一個長期過程，急不得。

二、作圖的規范性

本題是無圖題，連平面直角坐標系都未給出，需要學生在草稿紙上完成作圖，那些學習習慣較好的學生，得益于平時的良好規范，可以迅速完成作圖，同時作圖準確度較高，從而更充分發揮幾何直觀能力，學生在考試中作圖，必須在腦海中成型才能動筆，從這個角度看，一旦作圖能力發展到一定程度，無圖勝有圖。

一般情況下，平時作圖不規范或自以為是的學生，多數會被卡住，要么畫出不可能存在的情況，要么畫錯位置導致推理失敗，本題中不僅正方形的中心在拋物線上變化，正方形的形狀也在變化，由此引發的正方形各邊與拋物線的位置關系十分復雜，這種命題設計，正是用于淘汰平時自作聰明的那一部分考生。

在平時的課堂教學中，教師作圖必不可少，不建議用幾何畫板代替，我觀察到鄒老師的研題過程中，采用了大量手繪圖形，當然我個人認為，在紙上作圖可能更貼近學生實際，但這也是充分考慮到了學生實情，作為教師教學基本功，尤其是數學教師，在黑板上用粉筆作圖，如何快速準確地完成，實際上也是長期練習的結果。簡單的一次函數作圖，盡量給時間讓學生在課堂上完成，并且在巡視過程中去發現容易出現的問題，這個基礎打好了，后面的學習會十分輕松，二次函數圖象也是同樣的道理，多作圖，在作圖過程中引導學生理解。經過一段時間的學習，學生在拿筆之前，腦中已經有了大致圖象，教學就是成功的。

三、初中數學知識間的關聯

思維導圖是一個十分有效的工具，教材每個章節后，都會配有相應的知識框架圖，這也是思維導圖的一種，在進行章節復習時，盡可能引導學生去畫一畫，而不是老師說一句畫一筆，學生畫得亂一點沒關系，畫漏也不要緊，給足時間幫助他們去一點點修改，這個時間花費其實比多做幾道題效果更好；并且我個人認為，每個人的思維導圖應該不是標準答案，而是開放式答案，總體上差不多，細節上有差別，因為我們的學生，擁有各自不同的大腦，理應出現不同的思維。而作為教師，需要包容每一種不同的數學思維，并引導每一種思維走上正確的道路。

繪制思維導圖，當然離不開例題，為了說明圖中的關聯，或者為了說明圖中的擴展，都需要相應的例題去解讀，教材上的習題非常經典，教參后配套的教學設計中也有大量優秀的習題，這些寶貴的資源等待著教師們去發掘。

學習繪制思維導圖，不僅僅是學生的任務，數學老師更應該身體力行，先在紙上畫，再利用軟件如xmind畫，曾經在北京國培時看到海淀區教科院對青年教師的培養，有一項就是新入職的老師，每節課都畫思維導圖，看著一年教齡、兩年教齡、五年教齡的老師們所畫的思維導圖，肉眼可見的成長速度嘆為觀止，我猜想他們的學生們，思維成長的速度應該更快。

最后，感謝鄒正陽老師的壓軸題研題大餐，也是這102場研題的壓軸大戲，感謝宜昌市教科院張欽博士搭建的這個優秀的教研平臺，還有更多參與研題、參與教研的同行老師們，向大家學習，永遠在路上。

精彩點評四

學習了鄒正陽老師對2022年吉林長春第24題的研究，收獲很大，我有以下感想。
本題是一道二次函數的綜合題，考查了學生代入坐標求參數，利用函數圖形的軸對稱性、增減性解決問題，能自己畫示意圖分類討論交點問題，能用點的坐標表示圖形，能熟練準確地解出一元二次方程及簡單的一元二次不等式等知識，綜合考查了同學們代數運算、數形結合、分類討論的能力，是一道優秀試題。
第1、2小題上手容易，是送分題。第1小問直接代入坐標，第二問鄒老師結合二次函數是軸對稱圖形，且對稱軸是直線x=1，可以快速得到B點橫坐標為1，還可以用平移加中點公式求解。從方法的難易程度來說，不必講法二，但鄒老師是在為用點的坐標的平移來表示正方形做鋪墊。

第3小題鄒老師緊抓題眼：“正方形內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大，或者縱坐標y隨x的增大而減小”，能很快畫出示意圖求解出m的范圍。
第4小題難度升級，不再確定參數m的正負性，易想到分兩大類。鄒老師結合畫示意圖，快速抓住易錯點即二次函數的左支只能與正方形的上水平線相交，而不能和左豎直線相交，從而能快速解決m小于0時的情況。當m＞0時，通過多畫示意圖感受到正方形的上平行線是否在x軸上方，正方形的下平行線是否和拋物線有交點，都決定了這一問能否不重不漏的找到所有情況并解答，對于學生來講，是一頓無比豐盛的思維大餐。但學生能不能完全消化吸收，我們究竟要如何教會學生分析問題，如何鍛煉學生的畫圖能力，如何培養學生分類討論的思想？從周老師教學及反思中，我有如下收獲：
第一、重視平時課堂教學。函數壓軸題基本都是數形結合題，需要引導學生分析、畫圖，我們在平時作業中，不少學生在老師提醒下才能畫好示意圖，考試中無人提醒便無可奈何了。反思自己的教學，還是因為在課堂上著急趕進度，給學生看圖、分析圖的時間不夠，故在平時教學中要給足學生思考、畫圖、解題的時間，才能讓相應的分析方法、基本圖形在手上熟練，在大腦中落地生根。

第二、注重關注知識的本質，由于平行四邊形、矩形、菱形、正方形都可以看作一條邊通過平移得到的，而線段也可以看作是由點平移得到的，這樣就可以把圖形最終落腳到點的平移上。這說明鄒老師對七年級平移相關章節理解的透徹，這要求我們教學中要從七年級就開始培養學生們感受、應用本質分析問題和解決問題。如鄒老師對于含參二次函數的變式訓練研究，從易到難，層層遞進，在學生獲得成就感的過程中去愉快地開始下一問。對于一道題，多嘗試改變條件和結論，讓學生在變式訓練中體會“形變而神不變”、體會“法無定法、環環相扣等”，體會分析問題的核心思想，提升解決問題的能力。

第三、怎樣讓老師的想法長在學生腦子里，除了需要多研究解法、教法，還需研究學生的錯題及改錯，體悟學生難于理解的點。所以我不僅需要在備課時，少一些想當然的上帝視角，多一些精講精練，多一些對學生的體悟和關愛。并讓學生先找到錯點改錯后再嘗試歸納自己的感悟，然后師生對話提煉，最后使學生養成“悟”的習慣。對于學生的錯誤要刨根究底，要找到是知識上理解的不到位，是理解出現了偏差，還是知識混淆的原因？只有有的放矢才能從跟本上解決問題。

感謝鄒正陽老師帶來的精彩研題，這促使我會在自己的教學中也要注意以上問題，并將好的想法逐一夯實，讓自己和學生都能更快成長。感謝張欽博士提供的學習平臺，感謝黃毅老師的指導分享，感謝各位數學老師一起前行。

精彩點評五

因為九年級復習備考的原因，周二沒能看鄒老師的直播，趁中考前夕學生難得的自由復習時間，我也有時間通過回放來學習鄒老師的研題。

此題是一道以坐標系為橋梁，通過給出一個確定的二次函數，和運動的正方形產生的相關問題，這類題型特點明顯，無外乎由運動產生的交點問題，最值問題，定點定長問題以及多邊形的存在性問題（等腰三角形，直角三角形，平行四邊形等），如果在這個基礎上再加上圖形的平行、旋轉和對稱可能讓問題更加復雜，解決這類問題的關鍵是掌握幾種常見的數學思想方法：

一是運用函數與方程思想，比如這題的第一問求函數解析式，第二問求點的坐標。

二是運用分類討論的思想，例如此題的第三問和第四問，對問題的條件和結論的多變性進行考察和探究，需要同學們既要關注條件的多變性（m＞0或m＜0衍生出的分類討論)又要關注結論的多變性衍生出分類（正方形與拋物線只有兩個交點）

三是運用轉化的數學的思想，由已知向未知，由復雜向簡單的轉換，比如此題告訴了正方形的中心在拋物線上運動，且告訴了正方形的一邊長，那么我們就可以運用平移、對稱的性質表示出正方形各個頂點的坐標，讓復雜問題簡單化。

四是數形結合思想，數字與圖形作為數學這門學科兩種重要的載體和表達工具，彼此之間有著內在的本質聯系。此題的三四問鄒老師都先簡單的畫出圖形，分析可能的情況，再借助代數去舍去不存在的情況，這就是數形結合思想“以形助數，以數釋形”

對于這道題1、2問都很簡單，屬于給分題，難點在于第3、4小問，因為圖形在變化，且沒有給出圖形做參考，這就對學生的審題和畫圖能力提出了要求，作為壓軸題沒有給出圖形，同學們若要得出正確結果又需要畫出圖形，這也對老師平時的教學具有一定的引導性，即老師在平時的教學中要給學生充足的時間進行探討，學生們的作圖能力需要在課堂或課外中得到充分的鍛煉和培養，鄒老師的研題中，對于3、4問的分析時，沒有直接借助作圖工具直接呈現相關圖形，而是自己嘗試去畫出對應情況下的圖形，雖然看上去不是很規范，但這恰恰是很必要的一個過程，因為在考場上，同學們沒有作圖工具，需要自己通過題意畫出圖形，當然我們在平時的教學中若能借助尺規，盡可能的把圖形畫的準確是最好的，因為這樣既能幫助學生理解抽象的問題，也給學生起到了良好的示范作用。

最后感謝鄒老師的精彩呈現，讓我還能在緊張的復習備考中跟著鄒老師研題學習，也感謝張欽博士提供的學習交流平臺，每一次交流和發言都是思維的碰撞和升華，唐代詩人杜甫有首詩叫《春夜喜雨》，里面有兩句是這樣寫的“隨風潛入夜，潤物細無聲”，我就是跟隨著張博士研題的春風走進了優秀的研題隊伍中，在耳濡目染中能力得到了升華。學無止境，學習永遠在路上，我會一直向優秀的同行學習。

個人感言

吉林長春市的這道二次函數題目，主要考察二次函數的圖像與性質，第一問入門比較容易，考察函數解析式與函數上的點的坐標之間的關系。第二問考察函數的對稱性，通過研究圖像很容易得到關于對稱軸對稱的點的坐標之間的關系。第三問考察函數的增減性，不過這一問與一般二次函數在x取不同范圍內的增減性有所不同，主要求二次函數在整個正方形中的增減性，具體還是要通過判斷邊與拋物線相切或者某些特殊位置為分界點，作出相對準確的圖形，再根據圖形判斷相應的參數的取值范圍。第四問求交點的個數問題以及兩個交點時的函數最值。此問對學生確定分類討論的依據，作圖以及圖像與參數的關系要求更高，考察思維更全面深入。

對于考場上徒手作圖的學生，準確確定不同情況下的圖形是一個難點，尤其是最后一問，非常容易出現多解或者漏解的情況。因此如何突破這個難點是我重點思考的問題。通過正方形交點個數的變化以及最大最小值的不同，分析動點A在不同情況下的圖形。再通過特殊點的值不斷縮小范圍，進而得到最終的答案。

本題設計考察的內容為函數的基本性質，但是深度卻不小，對于不同層次的學生有很好的區分度，是一道非常不錯的函數壓軸題。在研究過程中，我對交點個數問題以及四邊形中函數的變化有了更深層次的理解。函數圖像加上動態的圖形，往往會衍生出很多很有趣的變化。值得我們從不同的角度加以分析，鍛煉自己的思維。

最后，感謝張欽博士搭建的優秀教研平臺，再次感謝黃毅老師在研題過程中給與的全方位指導，感謝陳聰老師，胡芳老師，石習鴻老師，盧勇老師給予的寶貴建議，但是由于能力有限，對于此題還有很多自己沒有研究到位的地方，歡迎各位老師一起交流分享。

鄒正陽老師簡介

鄒正陽，宜昌市第十六中學數學老師，西陵區學科帶頭人，區骨干教師，五年高中，十一年初中數學教學經歷，一直在不停地思考數學教學。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）

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