精彩點評一

認真學(xué)習(xí)了張曉賢老師講的福建省第24題，覺得收獲頗多，很有一種撥得云開見日出的感覺。這是一道在等腰三角形基礎(chǔ)上做旋轉(zhuǎn)變化的幾何壓軸題，但是結(jié)論卻有滿滿的代數(shù)感，整體難度不大，切入點很多，是一道有意思的題目。

對于第一問，張老師帶領(lǐng)我們回顧了菱形的判定，每一條判定定理都是我們的切入點，從不同的判定找到不同的條件，對于學(xué)生來說，易于接受。對于第二問，同樣從結(jié)論出發(fā)，尋找兩個角度的關(guān)系，很巧妙的地方是運用了第一問的特殊性，讓目標(biāo)明晰，指明了前進方向，這一點對于迷茫中的學(xué)生來說很有促進作用，也教會了我在平時的教學(xué)中，猜結(jié)論不是盲目地進行，一方面有圖感，另一方面也可以借助于一些特殊位置、特殊圖形來完成。對于第三問，張老師從條件出發(fā)，一類方法是通過相等的一邊一角，很容易讓學(xué)生想到構(gòu)造全等三角形，從而根據(jù)內(nèi)角和等關(guān)系，解得結(jié)論；一類方法是在表達各個角的過程中發(fā)現(xiàn)了一些特殊的角度，比如60°，從而構(gòu)造等邊三角形，完成整個題目的證明；最后一類方法是因為已知角都與BD有關(guān)，所以對角度進行翻折，構(gòu)造出了四點共圓，從而解決問題。在整個問題的解決過程中，設(shè)未知數(shù)的思想滲透始終，讓幾何題充滿了代數(shù)味道。

通過張老師的講解，我也有如下收獲：1、課本、課標(biāo)永遠是教學(xué)的第一順位。通過課本上的實踐，可以培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力、推理能力等，讓學(xué)生吃透課本，深挖教材，知其然，也知其所以然。比如讓學(xué)生通過作圖，已知一邊一角，作一個三角形與已知三角形全等，就是引導(dǎo)著學(xué)生去分析所缺條件，如何補充所缺條件，從而讓學(xué)生真的學(xué)會使用三角形全等的判定，讓學(xué)生在做中領(lǐng)悟知識。2、基本圖形學(xué)習(xí)可以引導(dǎo)思路。常規(guī)圖形的識別在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很重要，它可以為學(xué)生的解題提供一些思路，讓學(xué)生可以有不同的嘗試，比如常見的角平分線、點的位置、全等形等等，那么在日常的教學(xué)中，可以培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力，遇見一道幾何題，學(xué)生如果有思路，可以多追問一句，“你為什么這么做”，讓學(xué)生有意識地進行深入思考，從而形成自己的總結(jié)。

最后，感謝張欽博士提供了這樣一個平臺，感謝張老師的精彩講解，學(xué)無止境，一直在路上。

精彩點評二

認真學(xué)習(xí)了張曉賢老師講的福建省第24題，收獲很多，此題是以等腰三角形為基礎(chǔ)的幾何綜合題，考查的知識點非常多，張老師先是對題目進行仔細的分析和講解，后來又將題目所涉及到的一些常用的方法進行了細致的梳理，比如已知一邊一角對應(yīng)相等如何去構(gòu)造全等三角形，常見的導(dǎo)角的模型，張老師通過研究一道題，不僅總結(jié)出了解決這類問題的方法，更是指明了如何提高學(xué)生解決代幾綜合題的能力：將幾何問題代數(shù)化；增強代數(shù)推理能力。接下來我就這2方面談?wù)勎业捏w會：

將幾何問題代數(shù)化，第二問是探究兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，張老師采用的是先猜想后證明的方式，猜想時又用了從特殊到一般的方法，猜想這2個角互補，在去證明的過程中，思路一是從結(jié)論入手，解法1是將這2個角的和根據(jù)角度之間的換算，利用三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角定理證明；解法2到解法4是構(gòu)造一個角的鄰補角，再證明另一個角等于它的鄰補角，這些方法需要學(xué)生有很強的邏輯推理能力，因為題目未給具體角的度數(shù)，可設(shè)未知數(shù)，通過角之間的關(guān)系，將目標(biāo)角表示出來，通過代數(shù)計算得出結(jié)論，就有了思路二，就是后面的解法，這種將幾何問題代數(shù)化的方法，本質(zhì)是將逆向推導(dǎo)變成了順推，讓推理過程更加的順暢。

增強代數(shù)推理能力，對于第三問，求角的度數(shù)。張老師從條件出發(fā)，得出了一邊一角對應(yīng)相等，就出現(xiàn)了第一類方法：通過相等的一邊一角，構(gòu)造全等三角形，得出很多組相等的角，通過設(shè)未知數(shù)表示出其中的2組相等的角，利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程，利用整體思想推導(dǎo)出所求的角是30°；在表達各個角的過程中發(fā)現(xiàn)了兩個角的和或差是60°，聯(lián)想到可以構(gòu)造一個等邊三角形，通過圖形的特殊關(guān)系最后得出所求的角是30°，在解決這個問題的過程中，需要學(xué)生有很強的識圖和構(gòu)圖的能力，在后面的教學(xué)反思中，張老師也給我們列舉了一些提高學(xué)生作圖能力的案例，還列舉了一些提高學(xué)生代數(shù)推理能力的例子，對于我之后的教學(xué)有很大的啟發(fā)。

最后，感謝張欽博士提供的平臺，讓我們不斷的學(xué)習(xí)和進步。

精彩點評三

認真學(xué)習(xí)了張老師對于福建省24題的研究，收獲干貨滿滿的同時也對自己的幾何教學(xué)產(chǎn)生了許多思考。

此題的構(gòu)圖粗看起來與我們常見的“手拉手”共點等腰模型有些許共同之處——都是兩個等腰三角形有公共頂點，在此基礎(chǔ)上繞此頂點旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成圖形的“骨架”。但是此處重合的并非是等腰三角形的頂點。這類與常規(guī)模型形似而內(nèi)核差異巨大的題型很容易觸發(fā)部分學(xué)生的畏難情緒。這反映出自己在常規(guī)教學(xué)中可能存在著為了讓學(xué)生更快的掌握部分習(xí)題的解法，而過分地強調(diào)“幾何模型”的結(jié)論，而忽略了這些幾何模型結(jié)論背后的形成過程的現(xiàn)象。對幾何模型的教學(xué)，劃定“套路”，給出“結(jié)論”，忽視“形成”，本意是想讓學(xué)生更快地掌握對應(yīng)的知識，實際效果卻往往背道而馳。張老師的反思發(fā)人深省：“教育是個‘慢過程’，我們在教育過程中應(yīng)該慢下來，給與學(xué)生充分的時間畫圖和思考”。

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)中，課件，投影等硬件設(shè)施越來越強大，學(xué)生更容易接觸到電腦繪制的標(biāo)準(zhǔn)而精美的圖形，但是對于幾何知識的形成卻未必全是好處。很容易造成“一看就會，一做就廢”的尷尬局面。張老師的總結(jié)精準(zhǔn)地指出了我經(jīng)常忽視的地方：“在幾何教學(xué)時應(yīng)該充分地重視學(xué)生識圖能力和畫圖能力的培養(yǎng)……重視學(xué)生動手實踐畫圖，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀”。

感謝張老師的認真講解與詳細分析，發(fā)現(xiàn)了自己幾何教學(xué)中存在的許多問題與有待改進的方向。同時十分感謝張欽博士提供的優(yōu)質(zhì)平臺，提供了如此多優(yōu)秀同行的先進經(jīng)驗分享，助力我們快速地成長！

精彩點評四

認真學(xué)完了此次張老師的第100講研題，收獲頗豐，下面結(jié)合自己平時的教學(xué)，談?wù)勛约旱膶W(xué)習(xí)心得、體會與反思：

1、如何加深對全等三角形判定定理的理解？

張老師在教學(xué)啟示中講到，在教授學(xué)生全等三角形判定定理的過程中應(yīng)注重讓學(xué)生動手畫圖，在畫圖中探索新知的教學(xué)過程。與此同時張老師還進行了拓展教學(xué)，在新課教學(xué)講完全等三角形的判定定理后，讓學(xué)生繼續(xù)思考（如下圖）：

這樣的教學(xué)設(shè)計不僅充分復(fù)習(xí)了全等三角形的判定定理；還讓學(xué)生區(qū)分清楚SSA不一定使得兩個三角形全等；這樣教還有一個好處是讓初學(xué)全等三角形的學(xué)生打開了構(gòu)造全等三角形的視角，如果教師上課這樣教過，我想學(xué)生在解決第三問的時候就不會有困難了。雖然這只是張老師給我們呈現(xiàn)她優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計的“冰山一角”，但卻給我深深的啟發(fā)，我會學(xué)以致用。

2、如何教會學(xué)生快速有效的導(dǎo)角？

張老師在教學(xué)環(huán)節(jié)講到：“導(dǎo)角的數(shù)學(xué)原理本質(zhì)上是三角形內(nèi)角和及其推論（即：三角形外角的性質(zhì)）”，同時，張老師總結(jié)了常見的導(dǎo)角模型，這些模型大量出現(xiàn)在教材的例題和習(xí)題中。我們在平時的教學(xué)過程中不僅可以在解決這些問題時應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟到導(dǎo)角的數(shù)學(xué)原理，還可以在進行四邊形的內(nèi)角和、多邊形外角和定理、圓周角定理及其推論等問題中逐步滲透導(dǎo)角的數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐步加深學(xué)生的理解。

然而在實際的操作過程中，當(dāng)圖形較為復(fù)雜，設(shè)的未知數(shù)較多時，學(xué)生很可能在導(dǎo)角的過程中應(yīng)用同一個模型導(dǎo)出相同的方程，比如：用同一個三角形的內(nèi)角和為180°，又用這個三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和，這樣就不能列出不同的方程，就無法解出未知數(shù)，從而無法解出相應(yīng)的角的度數(shù)。這時候應(yīng)讓學(xué)生將目光轉(zhuǎn)移到其他三角形或者四邊形，從而列出新的方程。如果老師有發(fā)現(xiàn)學(xué)生列出了相同的方程，那么此時就是最好的提升學(xué)生在復(fù)雜情境中有效導(dǎo)角能力的最好契機！另一方面，學(xué)生在導(dǎo)角的過程中還可能出現(xiàn)，所有可能列出的方程均已列出，但是還差一個方程才能解答，比如學(xué)生設(shè)了三個未知數(shù)，但是怎么都找不到第三個方程，這時候應(yīng)該告訴學(xué)生導(dǎo)角通常離不開導(dǎo)邊，導(dǎo)邊和導(dǎo)角通常要結(jié)合起來一起用。要通過導(dǎo)邊盡可能將一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)來表示.

3、如何讓學(xué)生充分領(lǐng)悟豐富的解法？

本題是一道優(yōu)秀的幾何壓軸題，張老師給我們梳理了本題豐富的解法，既豐富了我的教學(xué)素材，也引發(fā)我進一步思考，在實際的教學(xué)過程中，我應(yīng)該怎么引導(dǎo)學(xué)生想到每一條輔助線的做法？我應(yīng)該怎樣實施具體的教學(xué)過程，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟這些解法，使這些解法能遷移到解決其他問題情境中去呢？

以上是我本次研題的心得、體會與反思，不當(dāng)之處請各位專家老師們批評指正，疑惑之處請各位專家不吝賜教。最后，感謝張欽博士提供的平臺，感謝張老師精彩的研題，感謝黃毅老師安排的學(xué)習(xí)機會，讓我可以有所學(xué)，有所思，有所問，有所寫，讓我一路學(xué)習(xí)成長！

個人感言

作為一名步入初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作才兩年的年輕教師，寒假報名參加研題時，我是忐忑的，畢竟自己經(jīng)驗有限，又沒帶過畢業(yè)班，心里沒有底。邁出第一步，在研題過程中就是一種成長。

福建省第24題是一道以等腰三角形為基礎(chǔ)的幾何綜合題，整體難度不大，考查的知識點較多，切入點較多，從不同的角度思考會有不同的思路。第一問考查菱形的判定定理，較基礎(chǔ)、起點低，學(xué)生易得分。第二問，探究∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，觀察圖形，分析特殊位置可以合理猜想∠ACE＋∠EFC=180°，根據(jù)角度之間的關(guān)系進行導(dǎo)角即可證明。第三問，分析條件圖中有多組相等的邊和角，根據(jù) “一邊一角”相等可構(gòu)造全等三角形，根據(jù)角度之間的關(guān)系求解。通過角度之間的計算，可得60°特殊角，構(gòu)造等邊三角形。分析條件∠BAD、∠BCD都與BD有關(guān)，可將角度進行翻折，構(gòu)造出四點共圓，進一步求解。本題雖然是一道幾何壓軸題，但由于題目未給任意角度，可設(shè)未知數(shù)，根據(jù)公式、性質(zhì)等建構(gòu)等量關(guān)系，建立方程，使幾何問題代數(shù)化。

回想研題的過程，既痛苦又充實，有種脫胎換骨的感覺，讓我收獲滿滿。前期鉆研于題目的每種解法，讓自己的解題能力有了很大的提升，在解題中對于每一小問、每種解法涉及到的每個知識點，溯源課本，讓我對整個初中數(shù)學(xué)知識有了更系統(tǒng)更深入的認識。在后期教學(xué)反思時，剛開始比較迷茫，想的太多，太淺顯，感謝高飛老師的指導(dǎo)，讓我明確了方向，從學(xué)生易錯的點出發(fā)，反思自己的教學(xué)。在平時的教學(xué)中，我應(yīng)該熟讀課標(biāo)、深挖教材，重視課本上的探究、思考活動，在課堂上慢下來，給與學(xué)生充分的時間動手操作和思考，討論交流，感悟定理知識的形成過程，真正理解，將知識內(nèi)化。讓學(xué)生知其然，也知其所以然。

感謝張博士及團隊提供的學(xué)習(xí)平臺和機會，讓我有機會能與眾多愛好研題的老師們探討交流，感謝黃毅老師給予的指導(dǎo)，讓我對于教材有了新的見解與思考，感謝猇亭區(qū)教研員楊萬喜主任的悉心指導(dǎo)與鼓勵，感謝猇亭區(qū)實驗初級中學(xué)數(shù)學(xué)組老師們給提供的寶貴建議與大力支持，感謝楊再蓉老師、王語老師、饒昭昭老師、劉見知老師等專家的精彩點評，讓我對本題和教學(xué)又有了新的思考。作為一名年輕教師，我深知還有很多不足，要學(xué)習(xí)的還很多，我要向群里優(yōu)秀的老師們學(xué)習(xí)，不斷提高自己的專業(yè)水平，努力成長。

張曉賢老師簡介

張曉賢，猇亭區(qū)實驗初級中學(xué)數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)中，關(guān)注孩子的個體差異，重視知識的積累，注重學(xué)生習(xí)慣和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，使學(xué)生獲得智與行的滋養(yǎng)，教與學(xué)效果好。

教研參考書籍推薦

《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》（張欽著）

微信小程序鏈接

微信二維碼：