幾何壓軸題中的知識遷移

2023年武漢市九年級數學4月調考第23題

武漢市的幾何命題代表了省內最高水準，對幾何元素的選取、關聯、運用非常巧妙，其中常見的題型是探索發現-遷移拓展，即由一個較為簡單的幾何模型，引出解決問題的通法，再利用這個通法，解決新的問題，這和新課標上對學生解題能力的要求是一致的，也和我們課堂上對學生的學習要求相同。

篇幅限制，關于遷移的理論不在此贅述，只聊在試題中的知識遷移，我們一般會在第1小題給出特殊狀態下的幾何關聯，然后在第2小題中針對這種關聯進行思維發散，而發散的方向就是最后一小題的解題方向。

題目

探索發現，如圖1，E，F，H是正方形ABCD邊上的點，連接BE，CF交于點G，連接AG，GH，CE=DF.

(1)判斷BE與CF的位置關系，并證明你的結論；

(2)若CE=CH，求證：∠BAG=∠CHG；

遷移拓展(3)，如圖2，E，F是菱形ABCD邊AB，AD上的點，連接DE，點G在DE上，連接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE，DF=GF，CD=10，CG=6，直接寫出DF的長及cos∠ADC的值.

解析：

01

(1)這是教材上的習題難度，利用正方形ABCD性質及CE=DF條件，可以證明△CDF≌△BCE，得到∠DCF=∠CBE，由于∠DCF+∠BCG=90°，所以∠CBE+∠BCG=90°，即∠BGC=90°，所以BE⊥CF；

02

(2)方法一：

增加條件CE=CH后，首先找到△CEG∽△BCG，得比例線段CE:CG=BC:BG，將其中CE替換成CH，BC替換成AB，得CH:CG=AB:BG，再加上∠GCH和∠CEG都與∠DCF互余，可證明∠GCH=∠CEG，其中∠CEG與∠ABG是一對內錯角，所以∠CEG=∠ABG，從而證明了∠ABG=∠GCH，得到△ABG∽△HCG，如下圖：

所以得到∠BAG=∠CHG；

方法二：

由CE=CH再聯系CE=DF，得到DF=CH，所以連接FH之后，可以得到矩形ABHF，如下圖：

顯然A、B、H、F四點共圓，再由∠BAF=90°，∠BGF=90°(前一問結論)可得∠BAF+∠BGF=90°，因此A、B、G、F四點也共圓，留意到這兩組共圓的四點中，有三點A、B、F是重復的，說明它們在同一個圓上，即A、B、H、G也四點共圓，不妨作出這個圓，如下圖：

此時對于圓內接四邊形ABHG而言，∠CHG是其一個外角，它的內對角為∠BAG，所以∠BAG=∠CHG；

03

(3)由∠AGD=∠BAD，再加上公共角∠ADG=∠EAD，可證△ADG∽△EDA，得比例線段DG:DA=AG:EA，∠FAG=∠CDG，將比例式中的DA替換成DC，EA替換成AF，得DG:DC=AG:AF，于是可證明△AFG∽△DCG，得到FG:CG=AF:DC，所以DF:6=(10-DF):10，解得DF=15/4；

通常情況下，求余弦值，需要將這個銳角放在某個直角三角形中，由這個思路出發，作FM⊥CD于點M，構造出Rt△DFM，再由DF=FG，可再作將DF繞點D旋轉至FG位置，則Rt△DFM也隨之旋轉，作DN⊥CG，交CG延長線于點N，再連接CF，如下圖：

現在我們來尋找這兩個三角形全等的條件，已經具備了DF=GF，∠DMF=∠GNF=90°，還差一個；

在四邊形CMFN中，∠DCG+∠MFN=180°，而在前面的相似三角形中，得到∠DCG=∠AFG，其中∠AFG+∠DFG=180°，由等角的補角相等，可得∠MFN=∠DFG，它們的公共部分是∠MFG，所以得到∠DFM=∠GFN，補齊全等的最后一塊拼圖，得到△DFM≌△GFN；

我們能證明FM=FN，DM=NG，從而說明CF是∠DCG的角平分線，由對稱性可得CM=CN，而CM=CD-DM，CN=CG+NG，于是10-DM=6+NG，由DM=NG，可求出DM=2，現在回到Rt△DFM中，cos∠ADC=DM/DF=8/15.

解題反思

本題第2小題中的全等三角形，和第3小題中的相似三角形，其證明過程有異曲同工之妙，利用相等的線段進行等量轉換，從而得到新的全等或相似，同時無論全等三角形或相似三角形，均可看作繞其頂點旋轉得到，這也是武漢幾何題的特色之一，多使用旋轉變換，至于為什么如此“喜好”，個人猜測是因為旋轉變換對于學生幾何直觀有較高的要求，同時極容易與圓的知識進行關聯，滿足其作為幾何壓軸題的身份。

第3小題中的余弦值求解，初看的確摸不著頭腦，不知從何處下手，此時需要仔細分析題目條件，從最基本的“需要直角三角形”入手，結合旋轉變換，構造出需要的圖形，并求出相應的線段長，與前面求DF值過程中得到的相似三角形巧妙關聯了起來。

題中的知識遷移，主要是指解題思維的遷移，用已經想到的方法，融入新的元素，解決新的問題，這對平時課堂上學生知識遷移的過程完全一致，從這個意義上講，教學導向非常明顯，即課堂教學中，教師應注重學生對解題方法的掌握，這里沒有套路可言，引導學生從分析題目條件出發，每個條件思考其發散點，這些發散點關聯到下一個條件或結論，從而順藤摸瓜，探究出需要的結論。

在全國各地幾何壓軸題中，類似的考查方式比比皆是，尤其是在臨近中考的沖刺階段，如何進行壓軸題的復習課教學，一直是值得研究的課題，學生解一道幾何壓軸題，其思維量是十分巨大的，需要良好的數學思維習慣，作為數學教師，在課堂上培養學生解題能力，更需要研究從優秀試題中感悟題目結構、命題思想、教學導向等，從而服務于課堂教學，讓學生從中受益。

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