探索直線存在唯一性

2023年武漢市九年級數(shù)學4月調考第24題

含參拋物線和含參直線產生的交點，是動態(tài)的，在運動過程中，這些交點會相互形成更多的線段、角、三角形等，這其中可能存在不變的量，尋訪這些量，是二次函數(shù)壓軸題的常見考法。解決此類問題，需要將圖上的點坐標、線段長度用含參數(shù)的代數(shù)式表示出來，再通過求解方程得到需要的解，在解方程過程中，不僅要關注解的數(shù)值，更要關注解的情況，而這，恰好是韋達定理用武之地。

題目

如圖，拋物線C1：y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C.

(1)直接寫出拋物線C1的解析式；

(2)如圖1，有一寬度為1的直尺平行于y軸，在點O，B之間平行移動，直尺兩長邊被線段BC和拋物線C1截得兩線段DE，F(xiàn)G，設點D的橫坐標為t，且0

(3)如圖2，將拋物線C1平移得到頂點為原點的拋物線C2，M是x軸正半軸上一動點，N(0，3).經過點M的直線PQ交拋物線C2于P，Q兩點.當點M運動到某一個位置時，存在唯一的一條直線PQ，使∠PNQ=90°，求點M的坐標.

解析：

01

(1)將點A，B坐標代入解析式中，求得b=-2，c=-3，所以y=x2-2x-3；

02

(2)寬度為1的直尺，這個情景說明直尺兩長邊上的點，橫坐標相差1，于是設D(t,t2-2t-3)，F(xiàn)(t+1,(t+1)2-2(t+1)-3)，由拋物線解析式得到C(0,-3)，從而求出直線BC解析式為y=x-3，表示出點E(t,t-3)，G(t+1,t+1-3)，然后分別表示出線段DE和FG的長度，DE=-t2+3t，F(xiàn)G=-t2+t+2，我們采用求差法比較它們的大小：

DE-FG=2t-2，當0FG；當1

03

(3)平移后的拋物線為y=x2，過點N作y軸的垂線，再分別過點P、Q作y軸的平行線，構造一線三直角模型，如下圖：

根據(jù)題目條件設點M(m,0)且m>0，直線PQ解析式為y=kx+b，代入點M坐標后，解得b=-mk，則解析式變?yōu)閥=kx-mk；再設P(a,a2)，Q(b,b2)，它們是直線與拋物線的交點，所以聯(lián)立方程得kx-mk=x2且x=a和x=b恰好是它的兩個根，整理方程得x2-kx+mk=0，由韋達定理可得a+b=k，ab=mk；

回到圖中這對相似三角形，△PFN∽△NEQ，它的對應邊與點P、點Q的坐標相關，因此可列比例式為PF:NE=FN:EQ，其中PF=3-a2，EQ=3-b2，NE=-b，F(xiàn)N=a，推導如下：

在上式變形過程中，由于我們已知a+b和ab，因此需要“湊”這兩個式子，所以運用了配方思想，現(xiàn)在將a+b=k和ab=mk代入上式，得

9-3k2+7mk+m2k2=0

整理成關于k的方程為(m2-3)k2+7mk+9=0

這里需要說明一下，為什么要關于k的方程？

題目中“當點M運動到某一個位置時，存在唯一的一條直線PQ，使∠PNQ=90°”唯一性的描述是針對直線PQ，而直線PQ解析式為y=kx-mk，其中有兩個參數(shù)m和k，當M運動到某個位置時，m是確定的，只有k未知，所以存在唯一的一條直線PQ即指k是唯一確定的數(shù)值，所以方程是關于k的方程，并且只有唯一解；

若這個關于k的方程是一元二次方程，我們計算判別式△=49m2-36(m2-3)=13m2+108>0，說明k有兩個值滿足，直線PQ有兩條，使∠PNQ=90°；

若這個關于k的方程是一元一次方程，只需m2-3=0即可，而m>0，所以m=√3，點M坐標為(√3，0).

解題反思

本題的亮點在最后一問的考察方式，涉及到的知識點為一元一次方程的概念，一元二次方程的概念，方程的解(根)，根與系數(shù)的關系，相似三角形等，尤其是方程的概念；學生在學習這些概念的時候，經常會遇到老師列舉出一系列方程，讓學生判斷是否一元一次(二次)方程，這種考查方式比較單一，學生容易形成思維慣勢，若稍微改變一下題目角度，對于這種概念辨析效果會更好，這要求平時教師自創(chuàng)題，多角度多層面幫助學生深入理解數(shù)學概念，不能僅僅依靠幾本教輔資料去布置作業(yè)。

一線三直角模型在題目中并沒有刻意回避，命題非常大度，顯然本題中，這個模型并不是決定作用，只不過用它得到兩個坐標間的關聯(lián)，效率比較高。

二次函數(shù)壓軸題中，對數(shù)學概念理解要求比較高，尤其是唯一性、存在性等問題的探究，在《從優(yōu)秀試題研究中領悟初中數(shù)學教學（上）》一書中，收錄了很多相關的例題，作為教師，在研究壓軸題的時候，更多的是研究如何把一道題目中蘊含的數(shù)學方法和數(shù)學思想教給學生，而不是對著參考答案念。

整道題難度分布合理，上手容易，逐級加深，最后落根于概念，這對平時課堂教學中，數(shù)學概念的教學必須更加重視，幫助學生理解概念，幫助學生深入理解，任務艱巨。