精彩點評一

認真學習了肖嬌龍老師以2022年山東省青島市中考數學第25題為例的解題研究，反復聆聽，受益匪淺。
本題中涉及的知識點:勾股定理和平行線的性質、相似三角形的判定與性質，銳角三角函數等基本知識。需要學生有較強的運算能力、推理能力，考察學生分析圖形的性質、建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型的能力，以及邏輯推理能力和運算能力等核心素養。
第(1)問求t的值。肖老師通過三角形相似、銳角三角函數、勾股定理、等面積法等四種思路，4種方法，從求未知數轉化到求線段的長度，由淺入深的分析，幫助學生解決問題，滲透轉化思想；第(2)問求四邊形的面積。肖老師始終站在學生的角度，深入文本解讀，滲透轉化思想，運用割補法，將四邊形轉化成規則的幾何圖形，歸納求面積法的關鍵是求圖形的邊長，6種解法，娓娓道來，細致入微。第（3）問是在第（2）問的基礎上求t的值，肖老師仍然從三角形相似、銳角三角函數、建系的思路下分析問題，解決問題。肖老師還注重講解解法之間的聯系和比較，由易到難，注重啟發學生思考，大大拓展了學生的思維。足見王老師嚴謹認真的教學態度和扎實的教學水平。
研題是教師專業成長的一種歷練。肖老師對此題作了充分的學情研究。立足于學生，她始終站在學生的角度，考慮如何去教學，這也是我們一線教師一直致力追求的事情。在教學反思部分，肖老師對學生做的每一問都做了細致的研究，通過對學生的錯因分析，分析學生解決本題存在的問題，足見肖老師的用心教學。反思學生的錯誤，對我們的教學啟示，此題難度不大，學生完成度尚可，深入挖掘學生錯因，肖老師做了大量研究，深研教材、精讀課標，與同事交流如何讓學生熟練掌握銳角三角函數的內涵，指出教師重視大單元教學的重要性。也指出教師教學要重視算功，遇到復雜的計算，算不出來，往往也是非?？上В愎苤匾?，更要注重算理。肖老師非常的細致和專業。
感謝張欽博士提供的研題平臺，感謝肖老師的精彩研題，每一次反思都會有成長，肖老師真正做到了以學定教，教學相長。

精彩點評二

認真學習了肖姣龍老師以2022年山東省青島市中考數學第25題為例的解題教學研究，讓我受益匪淺，滿載而歸。這是一個基于旋轉的直角三角形的幾何綜合題，考查了勾股定理、平行線的性質、三角形相似、銳角三角函數等基本知識，三問由易到難，層層深入?？疾炝藢W生分析圖形的性質、建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型的能力，以及邏輯推理能力和運算能力等核心素養。

第（1）問當EQ⊥AD時，求t的值。這一小問肖老師指出問題本質：求邊長的長度，并且介紹了四種解法：相似法、銳角三角函數法、勾股法以及等積法。肖老師的講題注重學生的解題體驗，站在學生解答的角度，分析題目條件的變化，通過特殊條件出發，引導把握問題的本質，關注變化，聯系性質，順勢轉化，多路突破。從不同角度、不同層次給出了相應的分析，及時搭好解決問題的梯子，讓解題方法應運而生。第（2）問設四邊形PCDQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，這一問以面積為“題眼”，對學生的推理能力和計算能力綜合考察。肖老師緊緊抓住面積進行突破，通過分割填補的方法將不規則圖形轉化為求規則圖形的面積，提供了6種不同的解法。在此基礎上，肖老師非常注重思路分析以及哪種方法更有利于求出此題。第（3）問通過構造等角，相似法和三角函數法來解決并且通過PQ∥CD，還聯想到建立平面直角坐標系利用斜率法來求解。

令我印象最為深刻的是肖老師展現的班上學生的解答過程，分析學生的做題思路，總結錯誤原因。通過反思答題過程，培養檢查能力。糾錯反思是有效提高學生再審題，培養學生正確解題思維能力的重要環節。很多同學由于缺少糾錯過程中的思考，往往造成同類錯誤一而再再而三的出現。結合自己的教學，如果能夠把每次練習中的學生的錯誤都重新進行進一步的思考，并且認真的分析造成錯誤的原因，以及記錄下錯誤思維的路徑和正確解題的思維路徑。我想通過這個深入思考的過程一定會記憶深刻、事半功倍。通過反思自己解題時的思維過程，實際上就是培養自己的檢查能力。而讓學生養成良好的檢查習慣是減少考試失誤的有效手段。

最后，感謝肖老師的精心準備，感謝張欽博士提供的這個平臺，讓我有機會向如此多的高水平教師們學習，對解題教學不斷探索，不斷成長。

精彩點評三

認真學習了肖老師以2022年山東省青島市中考數學第25題為例的解題教學研究，收獲頗豐。本題是一道幾何綜合題，考查了勾股定理、平行線的性質、銳角三角函數等知識。通過傾聽肖老師的講解，我有如下體會：

本題共有3小問，第（1）小問將求t轉化為求AQ或BP，結合已知條件，分析知易求AQ。肖老師用了4種方法求AQ：相似法（射影定理法）、銳角函數法、勾股定理（雙勾股）、等面積法+勾股定理。先多種解法求解，再解法對比。比較了這幾種方法的難易程度：若用三角形相似法，首先要證明三角形相似，還要對應邊不弄錯；用勾股定理要用兩次勾股，計算較復雜一些，容易出錯；若用等面積法，不能單獨求出AQ，需要結合勾股定理，計算容易出錯。綜合來看，已知一邊一角，利用銳角三角函數求線段長度最簡單。第（2）小問求不規則四邊形PCDQ的面積，肖老師用了多種解法后，再解法歸一，求不規則四邊形PCDQ面積，可通過分割填補的方法轉化成三角形、梯形等規則幾何圖形，求面積最終歸于求邊長。在直角三角形中，可以運用勾股定理、銳角三角函數求邊長，在一般三角形中，可以找相似三角形、利用面積法求邊長，也可以通過作高將一般三角形轉化為直角三角形，再利用勾股定理、銳角三角函數求邊長。第（3）小問是否存在某一時刻t，使PQ∥CD，肖老師提供了6種不同的方法，通過構造等角、相似法、銳角三角函數法、建立平面直角坐標系利用斜率相等來求解。

令我印象深刻的是肖老師展示的學生的亮點分析和錯誤分析，研題最終要落實到課堂，肖老師通過反思答題過程，及時發現學生的優點以及學習當中的不足，然后及時的更正教學策略，反饋到課堂教學中去。肖老師著重提到學生的邊角轉換困難的問題，聯想邊角轉換的相關知識點：等邊三角形的判定、等腰三角形的判定、含30°的直角三角形、勾股定理的逆定理、三角函數相似、銳角三角函數。然后回歸教材對銳角三角函數的講解，并對銳角三角函數進行了深刻的思考。銳角三角函數的引入就是從推理證明開始的，抽象且有難度。邊的比值引入了新的“正弦”等概念，比較抽象，且對于每一個給定的銳角，學生不能都算出具體邊長比，所以學生很難直觀理解對于無論多大的直角三角形，銳角度數確定時，邊長比值就固定。教材是通過證明特殊的角度30°、45° 的邊長比固定，從而由特殊到一般，試圖用具體的例子加深學生對銳角三角函數的理解，但是這個證明過程本身就有“門檻”，而求非特殊角的邊長比會更加困難，所以從兩個特殊角到一般，學生理解有困難。而“一般”的證明，前面已經說過，需要用到相似。對有部分同學來說，相似都沒有掌握，對還有一部分同學來說，既然能用相似解決，以后遇到解直角三角形,用更熟悉的相似替代了。另外，根據學生已有的學習函數的經驗，都是從列表格、描點、連線，畫出函數圖像，觀察出圖像性質再應用。學生已經習慣了這種函數學習方法，對于不一樣的銳角三角函數，比較難理 解接受它的“函數味”。總之，入門理解難、函數值抽象難算，應用時，-般情況都可以用相似替代，這大概就是學生較少用銳角三角函數的原因。最后肖老師給出來改進方法：1.借助幾何畫板讓學生直觀感受；2.重視教學中的計算器教學；3.初高中銜接；4.借助大單元教學，降低理解困難。這對我今后在幾何的教學上有很好的啟發作用。

最后，非常感謝肖老師的精神套餐，感謝張欽博士搭建的的這個研題平臺，讓我有機會向更多高水平的老師學習，讓我受益匪淺。

精彩點評四

肖老師以2022年山東省青島市中考數學第25題為例，將幾何中求邊和面積的方法進行了歸納和總結，揭示了三角形相似、銳角三角函數等知識的內在聯系，可謂研之深，思之全，給了我很多啟示。

一、解法多樣，如何擇優

聽肖老師講題，印象最深的是每一問都有多種解法，這些解法的由來都是站在學生的角度，從已知條件分析，聯想所學的某個知識點，自然而然地想到的。如第（1）問中，當EQ⊥AD時，學生第一眼看到的可能是射影定理的基本圖形，也可能是等積法的基本圖形，也可能是解直角三角形的圖形……，無論學生第一眼看到的是什么圖形或擅長的是什么知識，都可以求出此題的解，足以體現命題人的智慧。但學生要是三種方法都能想到并有意識的進行比較擇優一種方法，那對學生的綜合能力要求就更高了，而肖老師就有意識的在講題或平時的教學中引領學生進行比較擇優；再如第（2）問中，肖老師用了6種方法解答，無論哪一種解法，所用到的數學思想都是轉化思想，求不規則圖形的面積就是分割填補轉化成規則圖形，求規則圖形的面積又轉化成求線段的長，在解決這一問時，方法很多，意味著學生面臨的選擇就多，首先如何分割？如何填補？怎樣最優?其次是以哪條邊做底？怎樣作高？怎樣最優？學生無時無刻都在抉擇，而在有限的時間內、在緊張的環境中能以最快的速度選擇最優的辦法，確實需要扎實的基本功，需要豐富的數學活動經驗，更重要的是需要有比較和選擇最優方法的意識。這一意識的培養，是我在今后的習題課上需要加強和改進的地方。

二、反思學情，追根朔源

肖老師通過分析學生解題的亮點和錯誤，對教學進行了全面深入的反思，為了弄清楚學生為什么想不到或很少人用三角函數求線段長這一問題，做了大量研究，從教材的內容、章節的設置順序、教參上的教學建議等多方面進行深研，詳細解讀2022版新課標對相關章節的要求，并提出了自己的見解和解決方法。其中提到的初高銜接里，我很受啟發，初中階段就是承上啟下的一個階段，七年級面臨的是中小銜接，九年級面臨的是初高銜接，我們怎樣讓小學的孩子順利適應初中數學的學習？怎樣讓我們的孩子順利進入高中數學學習狀態?這是我們每個初中數學老師都應該思考的問題。仔細研讀課標，了解教材內容方知好多知識小學有、初中也有、高中還有，比如函數（小學還沒有提高函數這個概念）、統計知識等，那我們平時教學時應該怎么教？教多深？這需要我們研讀課標，通讀了解小學和高中的教材內容，教學中才好把握這個度。其實教育真正的價值是一種啟蒙，一種喚醒，一種打開，一種點燃，一種開悟，一種得道，我想我們只需要在七年級時退半步教學，在九年級時送一程教學，孩子們的數學學習道路會更加順利。

感謝肖老師的精彩講題，感謝張欽博士提供的學習平臺，讓我不斷學習和成長！未來繼續向各位學習，行穩致遠，久久為功！

個人感言

寒假時，看到群里發的研題通知，對于要不要參加，糾結再三。糾結的原因在于我之前并沒有參加過這個研題活動，完全沒有經驗，很忐忑。2022秋季學期剛休完產假回來上班，小孩還小，需要我照顧陪伴，而研題需要耗費大量的時間精力，上班以后在教務處負責課表和調代課等事務，也只能抽碎片化時間修改課件。如果不參加，又非?？上?，近幾年因為當班主任和懷孕生子，一直沒有參加。有很長時間錯誤地認為，作為班主任把班級管好、作為數學老師保證好教學質量就行了，忽視了教研，在專業上成長有限。最后，在王婭校長的鼓勵下，決定試一試。

關于選題，其實也沒有什么經驗，在排除了已選題目后，憑直覺選了一個幾何綜合題，2022年青島市25題，難度并不高，最難的是教學反思部分，因為選題難度不大，里面的知識點和方法，都是其他老師已經珠玉在前了，所以感覺對于教學反思毫無頭緒。去年年前，硬著頭皮交了初稿，其實是抱著重在參與的心態，感謝張博士鼓勵，給了一個參與的機會。

開學以后，讓九年級部分學生試做了本題，然后我對學生的作業批改、統計、分析，根據學生最明顯的問題，找到了切入點，也就是學生銳角三角函數的掌握有問題。從這個問題出發，去分析原因，翻教材、課標，和同事交流討論怎么改進教學、怎么讓學生更能理解銳角三角函數的內涵。受篇幅所限，沒有說學生運算能力明顯不足的問題，學生的計算能力差，但是隨著省考的開始，計算的要求是不是可能會水漲船高？怎么改善呢?我的想法是：我們一直都更重視學生的思維，為了提高運算能力，可以加強學生的過程落實，也要更重視學生算理的教學，還有利用等式的性質、分數的基本性質、各種運算律來簡化運算，另外加強數形結合簡化計算或者利用轉化的思想簡化計算等，具體的改善方法還要在實踐中摸索和繼續思考。

因為帶畢業班的經驗非常有限，這種情況下，粗淺的反思對有經驗的各位老師當然沒有什么借鑒意義，但是對我個人而言，參與本次活動的過程中，收獲非常大。感謝張欽博士提供的教研平臺，感謝本次點評的劉金娥老師、卞信老師、羅莤老師、周小倩老師等專家，再次感謝群里的各位老師，你們對研題的熱情，對教研的熱情，對數學的熱情，非常有感染力，是我們學習的榜樣！

肖嬌龍老師簡介

肖嬌龍，宜昌市三十中數學教師。善于引導學生自主學習，讓學生在數學學習中找到成就感和樂趣。重視教學質量，所帶每一屆班級，數學成績都能有顯著進步。