精彩點評一

認真聆聽了趙紅勛老師關于2022年大連市中考數學第26題的解題教學，收獲頗豐。對我平時的教學工作也有很大的啟發。本題的三問由簡單到復雜，深入考察了學生數形結合思想，轉化思想，對學生的數學建模，計算能力，幾何直觀等基本素養有較高要求。趙老師從構建知識體系，培養解題能力，滲透學科思想，達成學科素養四個層次分析，闡述了如何在教學中培養學生學科素養。

第一問求點的坐標。趙老師從二次函數和一元二次方程關系入手，深度分析了兩者之間的關系，帶我們學習了配方法，公式法，因式分解法，特別強調了韋達定理與對稱軸的關系，將數量關系和圖形結合起來，體現了數與形的統一。在教學過程中，離不開對教材的深入解讀和研究，幫助學生構建基礎知識框架體系。

本題第二問求面積的最小值。趙老師特別強調了圖形由點到線，由線到形，由形到面積。從而將用數表示的點的坐標與圖形結合了起來。求面積的最小值，需要假設動點坐標，將面積表示出來。在面積的表示過程中，充分體現了轉化的思想。趙老師娓娓道來，講述了6種表示面積的思路，進而總結面積的表示分為割補法，等積變換，等比轉化，鉛垂法等四種方法，闡述了求三角形面積的通常性方法。從而達到了幾何圖形與代數的結合，實現了圖形語言和數學符號語言的相互轉化。教學中要注重培養學生看圖識圖能力，使之理解幾何圖形語言，并轉換為數學符號語言，用數學語言描述世界。通性通法的探究過程有助于幫助學生形成幾何直觀，學會建立模型。

第三問求P點的坐標。由于該題圖形復雜，條件較多，相等的線段和相等的角較多。要在紛繁復雜的條件中，找到基本數學模型，也是學生解題經常遇到的難點。趙老師從圖形中列出來所有點，所有相等或相關的線段，有相等或相關的角進行一一羅列，歸類。將條件與結論聯系，找到等量關系，從而實現難點突破。首先，通過三角形的相似，全等，直線的位置找到思路。在分析完條件后，基于條件的構造，也是本題的難點。趙老師將求點P坐標的方法分門別類，主要分為直接法和間接法。特別是轉化為先求點G，Q，L三點的坐標，從而確定直線方程式，再將直線方程與拋物線對應方程聯立，求得P點坐標。還可以通過平行線，求斜率k的值。或利用圖形的對稱性進行求解。趙老師在這里列舉了六種思路22種解法，把第三問講得深刻，講得透徹，講得鮮活。

解題反思方面，給我印象最深刻的是趙老師引用波利亞的話，“好問題同某些蘑菇相似，他們大都成堆的生長，找到一個后，你應當在周圍找找，很可能在附近就有幾個。”這給我們指出了研題應該注重一題多解，一題多變。研究一題，總結一類。

最后，感謝趙老師帶來的精辟講解，感謝張欽博士提供的平臺和各位專家的分享。

精彩點評二

認真學習了趙老師對2022年大連市中考題26題的講解，收獲頗豐。本題是一道代幾綜合的題目，考查了二次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積、二次函數的性質、勾股定理的逆定理、兩點間的距離公式以及相似三角形的判定與性質。趙老師層層剖析，從題目本源出發，多種解題視角的變換，促進了思維向多層次、全方位的發散，學習完趙老師的研題，我對此題有了更深的認識，下面談談幾點學習感受：

一、以退為進尋根源

此題的第三問在剖開函數的外殼之下，實際上需要利用幾何的相關邊、角、形的相關知識來求點的坐標，趙老師從多個角度利用構造全等三角形、相似三角形、平行線以及軸對稱的方法將此題進行了講解，講解的非常透徹，羅列的方法很多，但是之間的聯系與區別又非常清晰明了，通過分類能夠更好的幫助學生梳理知識點之間的關聯，進一步發散思維，最后構造完整的知識體系。

二、數形結合理清題意

本題是一道函數綜合題目，函數本身就很抽象，對于學生而言不好理解，如何將抽象的函數具象化，數形結合是最佳的解題搭檔。此題的三問都需要用到數形結合的思想，第一問趙老師通過二次函數和一元二次方程兩者之間的關系，利用四種解題方法將函數的數量關系和圖形緊密結合，使得學生能夠將基礎知識內容聯系起來，構建出基礎知識框架。第二問在求圖形面積最小值時，趙老師通過多種角度的解析，再由函數建模得到的代數式和圖形之間的聯系，將數學符號語言與圖形語言相互轉換，趙老師總結了函數面積常見方法，割補法、等積變換法、等比轉換法、鉛錘法、平行線法，滲透了數形結合的思想。第三問中需要求點P的坐標，趙老師通過在審題的過程中研究問題背景，通過將條件信息融入圖形，圖形性質分析，問題條件關聯知識，再借助輔助線將目標問題轉化化歸，層層拆解，構建數學模型，最后得出結果，趙老師將各種方法娓娓道來，緊緊抓住其中關聯，讓我收獲頗豐。

華羅庚曾說“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，對于此類具有幾何背景的函數題，需要通過構建與數相對應的圖形或圖像進行分析，進而以形顯示數的特征，以數表示形的內在關系，達到數學問題的抽象與具象相互轉換的目的，以形助數獲得數學問題形象直觀的解法。讓我也更加清楚的認識到，在日常教學過程中，要在潛移默化之間培養學生的幾何直觀和數據觀念，這樣才能讓學生碰到條件復雜的代幾綜合的難題時保持清醒的思路，更好的理清圖形和代數之間的關系。

一堂好的習題課需要老師關注的點太多了，我也還有很多方面需要學習，感謝趙老師的精彩講解，感謝張欽博士及團隊提供這么好的學習平臺，我將繼續跟著各位優秀老師學習，提升自己的各方面能力。

精彩點評三

趙紅勛老師以遼寧省大連市中考數學第26題為例，撥開函數背景下的層層面紗，循序漸進、由淺入深的分析揭示幾何之實的本質，令人印象深刻，回味無窮！精彩的講解襯托出趙老師高超的教學水平，反復聆聽，收獲有三：

收獲一：注重學生思維能力及邏輯推理能力的培養。數學的生長不僅僅體現在知識的增多，更是體現在數學思維的成長，趙老師通過本道中考題的講解教會學生如何分析問題、如何解決問題的數學思想方法。比如本題的第三問，“在二次函數圖像上找一個點，使得角度相等”這類問題學生理解起來是比較困難的，但是趙老師從分析題干條件出發，從點、線段、角的層面分析題目的條件，找準學生理解題目的困惑及解題的瓶頸，層層深入，突破難點。趙老師從明確圖形特征與條件信息（即研究問題背景的“形與神、動與靜”）教會學生正確審題，由圖形特征聯想到哪些知識方法（即條件信息融入圖形，圖形性質浮現腦海，問題條件關聯知識）教會學生如何思考問題，最后通過作輔助線、問題轉化、建立模型等教會學生解決問題的具體做法。趙老師在講題過程中教會學生優化學習數學的思維方式，進而開啟學習數學的進階之路。

收獲二：注重方法歸納提煉，倡導通性通法。趙老師對每一問的多種解法都進行了細致深入的分析，對多種方法進行歸納總結，提煉出“通法”，注重用通法去解決問題，同時注重培養學生的幾何直觀感知能力。

收獲三：注重課堂生成及解題后的反思。趙老師分享了一位學生的課堂生成對教學的促進，生動的詮釋了何為“教學相長”。趙老師還非常注重解題后的過程反思，提倡老師應站在學生的角度分析題目，培養學生的審題能力，進一步培養學生推理論證的能力，站在學生的角度反思總結，幫助學生梳理知識點，梳理思路和方法，提升學生的解題認知能力，升華解題思想，使學生實現從知識技能到思想素養的進階蛻變，激發學生強烈的學習欲望，從而真正提升數學素養。

最后，非常感謝張欽博士提供的研題平臺及趙老師的精彩講解，令人深受啟發，獲益匪淺！

精彩點評四

二次函數一直穩居九年級數學的研究高峰，函數與方程，函數與幾何圖形的融合，常令學生不寒而栗，趙老師以大連第26題為例，抽絲剝繭，層層深入，讓我感受到了不一樣的函數解題教學：

一、常法入門高度重視

由函數解析式。聯系一元二次方程，點的坐標與方程的解，基本的數形結合思想，趙老師仔細分析，給學生鋪好前進的臺階，彰顯出數學課里滿滿都是對所有學生的關愛。

二、提煉圖形特征找方法

第二小問，用函數最值求面積和最值，思路流暢，計算較為復雜。于是老師引導學生分析，圖中的圖形之間的聯系，用全等和直角三角形轉換，簡化運算。

在進行全等構造時，抓住固有的邊和角，以此造勢，構造辦法牽引而出，將三角形的面積轉化為平行于坐標軸的線段乘積，自然大大減少了運算量。

第三問，有了前兩問點的坐標和線段長度的經驗，有了新的角度相等關系，聯系鄰補角、外角，導角運動自此開始，一發不可收拾。

發現45°和90°后，由相等的一組角，看鄰補角、外角進行轉換，新的等角呼之欲出……

三、代幾分離融合秀于林

在發現眾多角度和線段的關系后，學生也許會想到，披著函數外衣行幾何之實質。去掉坐標系，在腦海里自由構造幾何圖形即可。全等、相似、勾股定理的計算即得點P或點Q的坐標。同時趙老師還引導學生發現，當兩個角的和為45°，這兩個角的正弦值其一是，另一個角的正弦值就是。由此再次跟學生總結了同類幾何圖形模型和識別策略。

完全已知的二次函數，由其對稱性，加之一組相等的角，趙老師帶領學生做了構造全等的解讀。

趙老師引導學生回看函數后，再次引導用平行線轉移角，再用一次函數求點的坐標。完成數形結合的回歸。

趙老師每分析完一個問題，會帶著學生做總結反思，有助于引領學生從單個的題目走向系統的思考，從一個到一類到，潛移默化完成完成“點線面”般的延伸。至此，感謝張欽博士帶領宜昌市初中數學老師們創造了這個引人思考和實踐的平臺，每一次聆聽都受益匪淺,，作為宜昌數學教師之一，自己深感有幸。

精彩點評五

認真學習了趙老師2022年大連市中考題第26題的解題研究，讓我收獲頗豐，受益匪淺。本題以一個經典的拋物線作為背景，考查了二次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積、二次函數的性質、勾股定理的逆定理、兩點間的距離公式以及相似三角形的判定與性質。由淺入深地考查了學生對基礎知識掌握的情況，著眼素養，立足基礎，聚焦思維。

面對二次函數的壓軸題，如何從簡單的條件中挖掘背后的線索，趙老師從第一個簡單的問題開始，循序漸進的講解。第一問考查拋物線與坐標軸的交點B、C的坐標，趙老師從二次函數與一元二次方程之間的關系入手，滲透數形結合的思想，借助解方程求解拋物線與坐標軸的交點坐標，講解了四種基本方法，立足基礎且全面。

第二問考查了在拋物線的背景下求面積的最小值問題，為了找到面積的最小值，運用轉化的數學思想，設動點的坐標并表示面積，這種題型中面積表達出來一般是一個二次函數。趙老師詳細講解了表達面積的常用思路，總結了割補法、等積變換法、等比轉換法、鉛錘法、平行線法。再次充分滲透了數形結合的思想方法。趙老師還進一步引導分析圖形之間的聯系，用全等三角形和直角三角形進行轉換，減小運算量。

第三問在給定條件下判斷P點的存在性，求點P的坐標。趙老師啟發學生從已知角相等可以聯想全等、相似、三角函數、一次函數等知識，結合勾股定理進而求點坐標。趙老師將題目研的透徹，研的生動，共六種思路22種方法，利用數形結合的方法進行推理，通過對問題的深入分析選擇不同的方法，合理選擇最優化的解答過程。

在本次研題中，趙老師對每一個問題都進行了深刻的分析，一是問題背后涉及知識點；二是方法多樣性的探討；三是回歸教材知識點的思考。時時有引導，問問有反思，既解答了學生的疑惑，又站在教師的角度，對教材，對教法進行了重組和拓展，讓我們站的更高，看的更遠。趙老師注重對方法的總結提煉，注重對學生能力的培養，讓學生能夠舉一反三，觸類旁通。

非常感謝趙老師的分享，也感謝張欽博士搭建的平臺，讓我借助這個平臺學習更多的教育教學知識，讓我能不斷提高，不斷做更好的自己。

個人感言

本次研題選擇的是2022年遼寧省大連市中考數學第26題，本題以最經典的拋物線=2?2?3作為背景，考查了二次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積、二次函數的性質、及相似三角形的判定與性質.。研題過程中我力求從學生的視角，教師的視角，命題者的視角呈現，我這樣做的目的之一審視學生讀圖、識圖，構圖能力；目的之二，與自己的解題思路對接，打通不同解法之間的思維關聯；目的之三，對經典圖形、經典輔助線加深記憶，對喚醒的期待；目的之四，欣賞數學之美，在琢磨圖形與解法之中感受數學思維之美妙。

在第（3）問中，我以六種思路呈現一題多解，我在驚嘆解法之多的同時，更需要對這些解法進行分析、對比、和總結．這時候，我問自己這么4個問題：

①哪些解法在故弄玄虛，用看起來復雜或者新奇的寫法對普通的解法進行包裝？是不是有些步驟可以刪減？

②哪些解法是重復的，指導思想一致，僅僅是操作細節上略有差異？

③哪些解法之間是等價的？譬如在用面積法推導出正切值1/2，1/3后，用模型再出一解法是否就有點多余了．

④哪些解法具有教學價值？哪些解法只具有研究價值?我在平時的教學過程中落實了多少？

教學價值的高低取決于思路的自然度，思路越自然，教學價值越高，想讓學生學會自己分析問題，就不得不追求思路的流暢性．我既要引導學生多角度思考問題，獲得不同的解題方法，更要引導學生解后反思，不以問題解決為終點，而要對問題的解法和思考過程及時總結反思，多問自己幾個問題，如：這個題考查了哪些知識點？是否還有簡便的方法？堅持這樣做的話，學生在反思中就會不斷獲得解題經驗，提升解題能力，才能感受到數學之趣和數學之美。

借用2022全國新高考1卷作文提示語：對于初學者而言，應該從本手開始，本手的功夫扎實了，棋力才會提高。一些初學者熱衷于追求妙手，而忽視更為常用的本手。本手是基礎，妙手是創造。一般來說，對本手理解深刻，才可能出現妙手；否則，難免下出俗手，水平也不易提升。

對于初次研題的我而言，我未必需要自己下出"妙手"；我需要的是"把握基本，參透變化"。知曉"試題的變化"，教會學生，讓學生練好"本手"，創造出"妙手"!數學很大，我很小，作為教師，我惟愿以啟發為"楫"，帶領學生泛舟于數學之海，行進途中，或看數學定理證明之精妙絕倫，或看解題思想方法之出神入化，一起感受數學之美，對于砥礪前行者，為人師者必當引領他們乘風破浪，尋夢數海；而對于半途改變航向者，若能助其在數海拾貝一二，其亦是不虛此行。

學無止境，任重而道遠。在此感謝張欽博士搭建這個線上研學研教研題平臺，感謝長陽縣教育研究與教師培訓中心方衛老師鼓勵與指導，感謝武立鋒老師、李夢園老師、陳莉麗老師、張敏老師、杜曉莉老師的點評，感謝我的學生、我的團隊及身邊的貴人，你們的鼓勵是我不斷努力的動力，你們的建議是我進步的階梯，感謝有你、有你們真好。

在今后的工作學習中，堅持教學研究，一題多變，不變初心，悄悄地改變學生的習慣，靜靜地浸潤學生的心靈，輕輕地搞些活動，慢慢地擴大學生的視野，讓學生在不期然中受到熏陶，慢慢地越變越好！

趙紅勛老師簡介

趙紅勛，長陽土家族自治縣津洋口初級中學教師，現任宜昌市中小學教育質量綜合評價研究初中數學課題組命題審題專家組成員，長陽名師工作室主持人，曾獲市級師德標兵、縣第一屆骨干班主任、縣第一、二屆學科中心組成員、縣學科帶頭人、優秀教師、文章在中小學教育上發表。教育箴言：質勝于華，行勝于言。