拋物線中的相對定點

2023年伍家崗區九年級期中第24題

我們在乘坐火車時，人與車廂是相對固定的，盡管此時人與火車都在以一個速度向前運動，將這個場景轉移到拋物線背景中，拋物線及其關聯的動點，也存在一個相對位置關系，研究此類問題，通常會用參數表示動點及拋物線、直線解析式，并且從中找到常量，以此來說明相對確定。

題目

解析：

0 1

(1)由點B是線段OA中點，求得A(-8,0)；

0 2

(2)①顯然CM=CB這個等量關系用于列方程再合適不過，我們設C(x,0)，然后分別表示出CM和CB的長度，則CM2=CB2，可列方程如下：

(x+3)2+9=(x+4)2

解得x=1

所以BC=5

②點C(1,0)和點M(-3,3)可求出直線CM解析式為y=-3/4x+3/4，

將點A、M坐標代入拋物線中可求出拋物線解析式為y=-1/5x2-8/5x，聯立得方程-3/4x+3/4=-1/5x2-8/5x，解得x=-5/4，所以點D坐標為(-5/4,27/16)；

0 3

(3)先寫出平移后的拋物線解析式y=-1/5(x+t)2，頂點T(-t,0)，與拋物線上的P、Q兩點構成矩形的三個頂點，則∠PTQ=90°，如下圖：

解讀“對于每一個確定的t值”：參數t是拋物線的頂點橫坐標，意味著拋物線以x軸上某點為頂點，開口方向和大小均不變，此時拋物線上的點P和點Q所連線段PQ，在不同的t值下性質完全相同，線段PQ所過定點R只與參數t有關，相對于點T，它是個定點；

基于以上解讀，我們不妨令t=0，則拋物線為y=-1/5x2

設P(p,-1/5p2)，Q(q,-1/5q2)，相應的TP與TQ的解析式分別為y=-1/5px，y=-1/5qx

由于TP⊥TQ，可得-1/5p×(-1/5q)=-1，所以pq=-25

設直線PQ解析式為y=kx+b，代入P、Q坐標

解得k=-1/5(p+q)，b=-5

解析式為y=-1/5(p+q)x-5

∴t=0時，直線PQ經過定點R(0,-5)

∴TR=5

解題反思

本題屬于典型的動態函數中的定值問題，考察學生從變化的圖象中尋找不變量的能力，要求學生對代數恒等變換非常熟練，習慣用含參數的式子表示點坐標、線段長等，側重于解析法。

第3問的解法還可以用含t的代數式表示點坐標，然后取x=t去求k與b，解析法基本思想相同。

對于二次函數的考察，我們不妨先看新課標是如何要求的：

本題建立在對課標內容的深度理解上，例如“對于每一個確定的t值”，在教材上描述函數概念的時候，有“對于每一個確定的自變量x的值”，因此命題導向十分明確，就是我們在教學中要注重數學概念的教學，創設適當的情景讓學生從不用角度去理解數學概念，只有概念明析，才談得上解法的指導。