精彩點評一

2022年江蘇蘇州中考數學第27題，此題是關于三角形的綜合題。主要考查角平分線的定義，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，銳角三角函數的定義等知識。由面積比轉化為線段比，再尋找相似三角形從而求出線段的長度是此題解題的關鍵，有一定的難度。聆聽了劉老師關于此題的講解，她的語言簡潔明了，思路清晰，層層深入，結合自己的教學實際給大家展示了如何在平時的教學中培養學生數形結合的思想。下面結合此節課，談一下我的感悟：

一、破解表象，認識問題本源

本題雖說是蘇州市中考數學最后的一個題，學生都以為難度很大，實際深入后發現并不難。如果學生能夠迅速抓住問題的本源，破解表象，一切問題便會迎刃而解。題中第一問只要學生充分挖掘條件，找到邊角之間的一些聯系，利用角平分線和平行線很快能找到答案。題中隱藏了一個基本圖形便是反Ａ型相似，學生只要認真觀察便能找到問題解決的辦法。第二問探究AB/AD?BE/DE是否為定值，看起來復雜，但只要在第一小問的基礎上找到四條邊之間的關系，也能很快答案。學生可能感到困難的地方是第三問的變式，條件由內角變外角，由三角形面積之間的復雜關系求cos∠CBD，學生思維上沒有跟著跳躍的話，可能會一時如“丈二和尚摸不著頭腦”，只要學生能認識到面積比轉化為線段關系，求三角函數放在直角三角形中，從這一復雜的問題挖掘知識的本源，就能很快把握解題的命脈，找到解題的策略和方法。在我們平時的教學中只要老師多加引導，深入淺出地把問題分解成簡潔有效的基本知識，學生在這種活動經驗的積累下，便能逐漸形成自己的難題分解思維徑，更快的提升解決問題的能力。

二、抽絲剝繭，透過現象看本質

著名數學家費賴登塔爾說：“與其說讓學生學習數學，不如說讓學生學習數學化”。學生學習數學的終極目標是形成自己的數學思想和方法，學會數學的眼光去看待事物，學會用數學的方法去解決問題。而我們平時教學過程中的基本概念、基本性質定理、基本運算法則和基本圖形便是復雜數學　問題的生長點。在對一個復雜問題的解剖中，數學教師要學會通過抽絲剝繭引導學生分析問題的本質，結合教材本源進行全方位、多角度的分析研究，幫助學生透過復雜圖形看清問題的本質。劉老師在講第三問時，分別引導學生從面積出發思考和從角平分線為出發點思考，將面積的比轉化為線段的比，進而找到與∠CBD相關的線段的關系，進而通過構造直角三角形，從而求出∠CBD的三角函數值。她還充分利用角平分線是軸對稱圖形的特征從整體建構的思想大膽構造菱形，將求∠CBD的余弦值轉化為求菱形的邊角關系。幾何綜合題之所以難，主要原因在于難以找到問題的突破口，通俗來講，就是不會下手。在平時的教學中教師要鼓勵學生大膽嘗試，通過逆向推導，從問題的結論入手，找到關聯，轉化問題，突破難點。

這一次研題前，我讓自己班上的學生先試了一下水，發現大部分學生只能做到第二問，第三問無人問津，這讓我深深感到教學的挫敗。為什么學生會出現這樣的問題？自己在那些方面還做的不夠？今后還需要怎樣去改進？劉老師結合自己的教學實際給我們展示了如何在平時的教學中緊扣課本，深耕教材，如何在教學時轉化問題，突破難點，讓我深受啟發，深感平時教學不夠深入，教學中還存在許多的不足。感謝宜昌市數學工作室為老師們搭建的研題平臺，感謝老師們辛苦的付出！

精彩點評二

認真學習了劉見知老師對2022年江蘇省蘇州市中考數學第27題的講解，收獲頗豐。本題是一道幾何壓軸題，它以三角形為基本圖形，融合角平分線、平行線，重點考查了三角形相似、角平分線性質等初中階段核心知識。題干看似是相互獨立的兩問，實則是第一問的研究為第二問搭好了梯子，提示了探究的方向，很好地考查了學生的思維能力。通過聆聽劉老師的講解，我有如下體會：

一、注重常規常法的思路引導，關注學生的思維形成過程。劉老師在本題的解法探究過程中，非常注重解法思路的形成，善于挖掘題干中蘊含的特征條件，從常規常法的角度引導思考方向，這能在很大程度上幫助學生找到突破口。如第一小問的“平分+平行”條件聯想等腰三角形，由“公共角+等角”特征聯想A型相似，第二小問由“比例式相減”這一特征聯想轉化為同分母比例式或等比例轉化，最后一問由面積之間的關系聯想等底等高三角形中的線段比或將面積比轉化為相似比的平方等。這些立足于常規常法的聯想不僅能讓學生迅速找到解題的突破口，也能在聯想的過程中將轉化思想根植在學生心中。

二、深挖教材資源，從題源處提煉解法。劉老師以這道壓軸題為載體，將題中模型追溯到教材中的相關章節，如A型相似中的常見結論，相似三角形中面積比轉化為線段比等。這樣的追根溯源在教學中意義重大：有的學生非常畏懼壓軸題，甚至沒有勇氣去讀題，但通過這樣的溯源、拆解與剖析，能讓學生真切地體會到中考題來源于課本，方法來自于課堂，能讓學生更加關注課堂學習中的點滴積累。而作為一名一線教師，在雙減背景下，更應該多思考如何通過精講精練的方式，在不增加學生負擔的前提下提升教學效率。我想精研課標、深挖教材、熟讀教參一定是一條“捷徑”，從培育核心素養的角度出發，認真研究教材中每道例題、習題的選題目的及教學價值，在課堂上通過數學活動，在設問、引導等方式的帶領下，讓學生在探究中享受思維碰撞的樂趣，相信這也是每一名教師的追求。

最后，再次感謝劉老師的精彩講解，感謝張欽博士搭建的研題平臺，讓老師們能夠以壓軸題為媒介深挖對題目的理解，對解法的理解，對學生的理解，對教材的理解，對教學的理解等，而這也必將讓學生受益。

精彩點評三

認真學習了劉老師對2022年江蘇蘇州中考數學第27題的研究。在聽課之前，我閱讀并完成了這道題，這是一道幾何綜合題目，本題是四邊形綜合題，考查了角平分線的定義，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，銳角三角函數的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵。這題里面的基本圖形很多，劉老師對于題目的方法和思維的研究都很透徹，從中我也學習到很多，主要有以下兩點：

一、緊扣課本，深挖教材：課本中的例題、習題、活動具有典型性和示范性，在中考復習中，應重視回歸課本。在平時的教學中，因為書本中一些例題難度不大，一些同學覺得過于簡單，導致書本內容被忽視。實質上書本的例題都蘊藏著重要的思想方法，這次研題中劉老師重點反思了“挖教材”這一點，結合本道題目以及平時教學中的實例（例如“證明三角形的內角和為180°”等），證明書本是最好的學習資料。可以看出劉老師平時勤于研究教材并會做出相應拓展，在課堂耐心引導學生思考，非常注重培養學生的思維能力。這樣的引導不僅能持續激發學生對數學的興趣和信心，還能讓學生重視課本，對基礎知識和方法的掌握更加牢固。

二、轉化的思想方法：轉化的思想方法在數學中無處不在，是學生必須掌握的技能，但是學生聽起來會比較抽象，本題轉化的思想方法貫穿始終，劉老師在第（1）②中將具體長度轉化為一般的字母表示、用相等線段的轉化相似比中的線段；（2）中把面積之比轉化為相似比或者底之比，一直在強調轉化的思想，加深學生的印象，最后用完全平方和公式的推導和含有絕對值代數式的計算具體講解了轉化的思想，使這個聽起來抽象的方法具體清晰了。

對于壓軸題，學生普遍畏難，不愿嘗試，并且分層明顯。作為老師要想辦法發動學生積極思考動腦，像劉老師這樣，深入淺出，分步引導，抓住要點，點明方法，不僅可以讓大部分同學跟上學習步伐，也能讓一些能力強的學生掌握更多的方法，兼顧不同層次學生，值得老師們學習！

最后，感謝劉老師的精彩研題，給我們很多啟發，也感謝張欽博士及團隊提供的學習平臺，讓更多的老師分享出自己的經驗供大家學習。

精彩點評四

初見劉老師講解的蘇州27題，內心產生一個疑惑，題目設置了兩小問，但是通讀題目，覺得兩小問之間聯系并不緊密，更像是單獨的兩道題。出題人這樣設計是有何用意？這兩小問到底有沒有聯系？劉老師的講解不僅幫我解答了這個疑惑，由淺入深地講解方式也讓我收獲頗豐，在此我簡要分享以下幾點收獲。

一、劉老師在講解第二問前先對比第一問，分析兩小問的題干，總結出一變、一不變、一新增這三個關鍵點，這個思考問題的思路值得我們學習。記得剛參加工作時，有學生跟我分享了一段話，我至今印象深刻：沒有無緣無故的愛，沒有無緣無故的恨，更沒有無緣無故的第一小問。一道題中，第一小問通常起到橋梁作用，或是得出的結論對后續研究問題有幫助，或是后幾問可以延續第一問研究思路進行。劉老師通過分析題干的方式找到第二問和第一問的聯系，發現第二問中依然能得到兩個等腰三角形，第一問可以用相似、比例轉換、設元求解等方式，這些方法能否再第二問繼續使用呢？通過這樣的分析形成知識的正遷移，解題思路也就水到渠成了。

二、解題思路來源于日常教學，劉老師分享了幾個日常教學案例，幫助我明確了日常教學中如何引導學生深度思考。劉老師分享的案例中，深挖教材資源，從一個淺顯的問題著手，通過層層設問的方式幫學生搭梯子，一步步引導學生進行更深度的學習。新授課不是單純的教學生掌握一個知識點，更重要的是挖掘背后的數學思維，讓學生感受知識形成的過程或這樣做的道理。教材受篇幅的限制，內容都是高度概括的，教師要具備深度挖掘教材背后內容的能力。同時，教材中的習題也是很好的教學資源，很多壓軸題都能在課本練習中看到影子，教材中不僅有一些關于知識總結的習題，還有一些觀察和猜想、閱讀與思考等類型的習題。在講解這些教材習題時，教師引導學生一題多解的基礎之上，也可以采取一題多變的方法，甚至追問學生可以針對這道題還能提出怎樣的問題，逐步讓學生主動提出問題、分析問題、解決問題。

總之，通過這次學習，讓我受益匪淺，也深感責任之重。感謝張欽博士提供的好的學習平臺，感謝劉老師帶給我們的思維大餐。

精彩點評五

認真學習了宜昌市橘頌中學劉見知老師對2022年江蘇省蘇州市中考數學第27題的研究，劉老師對解法的探究充分，反思的內容深刻，語言的表達精準，酣暢淋漓，讓我受益很多。

本題作為幾何綜合題，整個試題的設計完整，探究意味很濃。通過角平分線和平行線的相關性質轉化角的相等關系，由此發現相似三角形，是解決本題的關鍵。劉老師在講解解法時一是非常重視對題干信息的分析，在第（1）小問中，“∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，DE//AC”，可以得到四個角相等，但題意卻是求邊的長度，因此結合圖形間的位置關系，由等角進一步發現子母型相似，體現邊角轉換；第（2）小問，是對第（1）小問圖形性質的再認識和進一步延申，劉老師注重條件分析，找到“一變、一不變、一新增”，由此我想到課堂上對于幾何綜合題的講解，其實很多時候學生解題困難，很大一部分原因可能是題意不明，對題干信息的整合能力有限，加上對知識間的邏輯關聯認識不夠，對解題帶來了很大的困擾。對照劉老師的研題，對我后期如何去講幾何綜合題，如何去啟發學生思想打開了思路。二是注重多法求解和變式練習，第（1）問的第②小問，求線段間的比值差是否為定值，對于線段比的轉化，教材中的要求不高，由第①小問中的若干對子母型相似，由數到式的代數推理即可得到一般結論，劉老師善于發現在推理過程中等邊轉換產生的“新結論”，并以“變式”的方式呈現給學生，能加深學生對轉化思想的認識，用意很深，在教后反思部分，劉老師以“緊扣課本，深耕教材”為主題，結合自己的教學實例（如三角形內角和的探究），提到了“許多練習題的解法都不能暴露思維的全過程，但我們在系統全面地教學中，就應該引導學生仔細審題，抓住題目透露出來的關鍵點，啟發學生從不同的角度去聯想，多種思路解題“，對于這一點我很贊同，深有體會。三是注重對解題方法的提煉和總結，第（2）問題干給定了三角形面積之間的關系“S1×S3=6/19(S2)2”，那么，從面積出發可以關聯到哪些解題的方法呢？面積比可以轉化為相似比或對應的底/高的比，幫助學生建構起數學知識與解題方法之間的聯系，對學生整體的認識圖形（如研究三角形，可以從與三角形有關的邊、角、周長、面積等維度去研究）作用很大。

通過學習，讓我受益匪淺，對我后期在幾何綜合題的教學上有很好的啟發作用，感謝劉老師的精彩講解，感謝張欽博士提供的好的學習平臺。

個人感言

2022年蘇州27題是一道以三角形為主旋律的幾何題，整體難度不大，學生較易上手。本題通過等角構造相似三角形，以平行線為媒介，深入理解面積比，探究了三角形各邊之間的數量關系。在整個解題過程中，滲透了相似三角形的判定與性質、解直角三角形、等腰三角形的性質、角平分線的性質、分式的計算等基礎知識，考察了學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象能力。

本題分為兩小問，沒有公共題干，與常見題略有區別，但細看可以發現有千絲萬縷的聯系，第一問的思路與第二問的思路有共通之處。第1題的第①問，根據角平行線+平行線的常規組合，發現題目中的等腰三角形，根據角相等，聯想多組三角形的相似，從而解決問題。第②問將第①問的具體數據一般化，但本質結論未發生變化，沿用之前思路，通過計算，可得結論。當然，如果從平行線入手，根據平行線分線段成比例，亦可完成比例式的轉化，且更為簡潔。第2題相對于第1題，有一變（內角平分線變為了外角平分線），一不變（平行），一新增（面積關系），那么按照一般的思維，新增條件十分關鍵，而將面積關系轉化為線段關系的常規思路就是兩個，一個是通過相似比進行轉化，另一個就是通過面積公式轉化為底或者高的比，此題按照兩種基本思路，均可得出需要的結果。當然也可以從角平分線入手，角平分線是軸對稱圖形，很多練習題都會考察角平分線的對稱性，或作垂線，得到垂線段相等，而垂線段極易與高聯系，從而完成證明；或在角的兩邊上截取相等線段，搭配平行，可以構造菱形，通過菱形的對角線互相垂直，形成天然的直角三角形，一步到位，解決問題。

本次研題，我自己的感悟主要有兩點。一是無論題目如何變化，都離不開我們手中的課本。初中階段的練習題很多都是由教材的定義、定理、練習等延伸出來的，在書上我們都能找到這些題目的基本模型或者基本思路，這題里面的所有方法我們都能在課本上找到源頭。而用好課本，用活課本，就成了教師的基本功，雖然平時我也在努力做，但是距離目標還是有一定差距，所以在實踐中，更要多思、多想，挖掘知識點的內在聯系，搭建內容間的溝通橋梁，將隱藏在知識點下的數學素養顯露出來，讓知識的學習成為一個自然而然、循序漸進的過程。二是轉化的思維十分重要。轉化的思想滲透于中學數學的各個地方，證明幾何命題的常用方法——執果索因的分析法與由因導果的綜合法，其實質就是轉化。這一問題的解決中，有一個很關鍵的步驟就是轉化，比較顯而易見的是將面積條件轉化為線段條件為我們所用，而隱藏的轉化是可以將第一問的幾何問題直接轉化為代數問題來解決。相對于幾何問題中的各種證明，對于學生而言，計算是他們更樂于做、更擅于做的事情，那么如果一個復雜的幾何問題，可以轉為代數問題，通過計算來解決，我相信對于大多數學生是樂意的，而幾何代數之間的轉變即可以理解為數形結合。幾何轉化為代數很多時候都是基于圖形本身的方正，借助了平面直角坐標系，完成計算，也就是解析幾何，也有少部分可以通過圖形的內在聯系，挖掘數量關系，完成計算。代數轉化為幾何很多時候都是來源于式子的內涵，比如說求|x-2|+|x-1|的最小值，就是考慮的絕對值的定義，即距離，通過幾何的方法進行求解，更簡單且易于理解。在日常教學中，我也發現了學生對于圖形好像有很濃厚的興趣，用面積的方法來證明完全平方公式、勾股定理等，都學的津津有味，這一過程，也將幾何的直觀性發揮得淋漓盡致。

研題的過程艱辛但充實，在這個過程中，需要你不時地停下來回頭看，去思考、去總結、去發現、去探索，讓我看見了原來不曾看見的風景，學到了剖析題目看清本質的能力，磨煉了有些浮躁不易靜心的性子，感悟良多，不再一一贅述。最后，再次感謝張欽博士提供的研題平臺，感謝西陵區數學教研員周靜老師提出的修改意見，感謝宜昌市橘頌中學周兵老師思路提點及數學組同仁的暖心鼓勵，感謝孫園園老師、黃毅老師等群內專家們的精準指導，感謝郭凱月老師、胡春鋒老師、黃東琳老師、秦琴老師、蘇暢老師的精彩點評，學無止境，未來可期。

劉見知老師簡介

劉見知，廈門大學計算數學碩士，現任宜昌市橘頌中學數學老師及教研組長。教學中，善于鉆研，勤于思考，注重學生數學思維能力培養，注重學生自信心和興趣的培養，形成了自己一套獨特的教學方法，使學生熱愛數學，并學好數學。