老師講的方法你真會了嗎？——八年級數學期中第23題反思

在很多節公開課甚至常態課上，數學老師們總會習慣性地問學生“學會了嗎？”，在多數情況下，學生很給老師面子，總會整齊劃一地回答“會了”。然而在實際考試過程中，打臉往往來得很快，當初回答會了的有些學生，在退潮后，果然沒穿褲子。

在命題時，也會出現這樣一類試題，給出解決問題的方法，讓學生用這個方法去解決后續的問題，它可以檢驗學生是否真正掌握了學習數學方法，而不是記住答案或套路。在剛剛結束的八年級期中考試中，第23題便是典型的“試金石”。

題目

問題提出：一條線段沿某個方向平移一段距離后與原線段構成一個平行四邊形。我們可以利用這一性質，將有些條件通過平移集中在一起來解決一些幾何問題。

如圖①，兩條長度相等的線段AB和CD相交于O點，∠AOC=60°，直線AC與直線BD的夾角為α，求線段AC、BD、AB滿足的數量關系。

分析：考慮將AC、BD和AB集中到同一個三角形中，以便運用三角形的知識尋求三條線段的數量關系：

如圖②，作CE∥AB且CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，從而AC=BE；

通過平行又求得∠EBD=180°-α

在△BED中，研究三條線段的大小關系就可以了。

(1)如圖②，若AC=2√3，BD=6，α=30°，請直接寫出線段AB的長____________；

問題解決：

(2)如圖③，矩形ABCD中，E、F分別是AD、CD上的點，滿足AE=CD，DE=CF，求證：AF=CE；

拓展應用：

(3)如圖④，△ABC中，∠A=45°，D、E分別在AC、AB上，BD、CE交于點O，BD=CE，∠BOC=120°，若BE=4，CD=3√2，則BD=___________

解析：

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(1)先梳理本小題的條件，AC=2√3，BD=6，α=30°，于是∠EBD=180°-α=150°，由全局條件得AB=CD，∠AOC=60°；

在題目的方法指導之下，輔助線CE與AB圍成了平行四邊形ABEC，連接DE之后，觀察△CDE，可證明它是一個等邊三角形；

添加輔助線的目的，是將AC、BD、AB集中到一個三角形中，現在我們通過平行四邊形ABEC得到AC=BE，AB=CE，然后利用等邊三角形得到CE=DE，于是它們都集中到了△EBD中的三邊上，并且其中的∠EBD=150°，于是順勢延長EB，便可得一個30°角，顯然構造含30°角的直角三角形非常方便，過點D向延長線作垂線DG，如下圖：

在Rt△BDG中，∠DBG=30°，所以DG=3，BG=3√3，可求出EG=2√3+3√3=5√3，在Rt△DEG中，由勾股定理求出DE=2√21，于是AB=2√21；

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(2)方法一：由本小題的結論AF=√2CE，猜想它們位于等腰直角三角形，并且分別是斜邊和一直角邊，因此借助前一小題的方法，將CE平移至點A處，如下圖：

由平移易證平行四邊形AGCE，從而得到AE=CG，AG=CE，借助矩形我們還可以得到∠B=∠GCF=90°，AB=CD，AD=BC，利用本小題條件AE=CD完成轉換，得到AE=CG=AB=CD，同時由AD-AE=BC-CG得到DE=BG，同樣利用本小題條件DE=CF完成轉換，得到BG=CF，現在△ABG和△GCF全等的三個條件全部湊齊了，證明△ABG≌△GCF，得到AG=GF，因此△AGF為等腰三角形，繼續證明，∠BAG=∠CGF，∠BAG+∠AGB=90°，于是∠AGB+∠CGF=90°，得到∠AGF=90°，因此△AGF為等腰直角三角形，最后得到AF=√2AG=√2CE；

方法二：圖中兩個直角三角形中分別利用勾股定理得到AF2和CE2，不妨設AE=CD=x，DE=CF=y，如下圖：

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(3)依葫蘆畫瓢，平移BD至CG，連接FG、BG，再過點G向AB延長線作垂線GH，如下圖：

我們仍然可得平行四邊形BGCD，并利用它得到∠GCE=60°，BD=CG，BG=CD=3√2，而本小題條件BD=CE可進一步推導出CE=CG，于是得到等邊△CEG；

現在觀察Rt△BGH，∠HBG=∠A=45°，因此它是一個等腰直角三角形，BH=GH=3，在Rt△EGH中，利用勾股定理求得EG=√58，所以BD=√58.

解題反思

本題的問題提出給出了一般的解法，其中蘊含的思路是利用平移構造平行四邊形，再利用平行四邊形進一步構造特殊三角形如等邊三角形、等腰直角三角形、含30°角的直角三角形等，將探究的線段長分別轉換到上述特殊三角形中，從而得到它們之間的數量關系，如果在解完第一小題之后，學生能夠得出上面的結論，那么我們可以認為，學生的確學會了方法。

在第二小題中，解法一屬于前面方法的延續，而解法二則比較 巧妙，將勾股定理作為突破口，在第三小題中，則進一步對前面的方法進行了升級，所需要輔助線也更多，也更不容易想到。

我們在平時教學中，尤其是幾何教學，每當老師展示出題目之后，總會有少數學生去盲猜輔助線，然后根據盲猜的輔助線去思考解法，這種思維方式是錯誤的，這也是刷題后遺癥，并沒有仔細分析題目條件，而是根據圖形特點去匹配記憶中的模型，一旦匹配上，則開始自動化套路解題，解答過程中遇到困難后，再重新去看題目條件，發現與套路不符之后，就此陷入困境。

良好的解題習慣，是從閱讀題目條件出發，結合圖形構建腦中的解題思路，每一個題目條件可解構出多個小的知識體系，它們之間相互關聯，構成一個更大的知識體系，在這個體系中，我們尋找解決問題的方法。