精彩點評一

認真學習了胡老師講解的2022年湖南省長沙市中考數學第25題，收獲很大，現在做出如下分享：

1.基本數學思想在解題過程中體現地得當、合理。

本題的本質是二次函數定軸動區間的最值問題，參數多，情景復雜，第一問（1）求函數值與解析式，第一問（2）求一次函數的“共同體函數”解析式，是第一問（1）的推廣，卻又是本題的特殊情形，胡老師特別注意從特殊到一般、從具體到抽象、從簡單到復雜的引導，符合數學教學的一般原則。第一問（2）中考慮到一次函數的增減性還涉及到分類討論思想。第二問在定函數與確定定義域的前提下求“共同體函數”的最大值，胡老師運用轉化的思想，將一個復合函數轉化為一個二次函數與一個反比例函數，將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將新問題轉化為舊知識，并將轉化的思想進行適當的總結，起到了解一題知一類通一片的效果。第三問通過幾何畫板動態演示了當對稱軸不變，區間變化時函數最值的變化情況，涉及到分類討論思想、數形結合思想，用到了分段函數的知識，對代數運算能力的要求、二次函數計算的要求都很高。

2.對概念教學的思考深入、全面。

在教學反思中，給我印象最深刻的就是胡老師對概念教學的思考。可能平時對于概念教學的研究還不夠，我在胡老師的講解中受益匪淺。除了聯系實際的引入，還有舊知引入、操作引入、歸納類比引入等。引入概念后馬上正例強化反例辨析是我一般上課的做法，胡老師還用具體的例子論述了一些剖析概念的方法，如對比解讀法。概念的理解、記憶、與應用也是學生經常學不好的地方，胡老師通過對本題的分析，提出了一些辦法，如：采取輔助方式、多感官刺激、形象化記憶等等，通過達到此充分挖掘學生綜合能力的作用。

3.解題后的總結反思維度多、站位高。

本題是定軸動區間的二次函數問題，正所謂舉一反三，由此及彼，關于動軸定區間、動軸動區間的考慮是解題后應該反思的內容，本題中出現了分段函數，胡老師在解題后反思中通過舉例總結了分段函數的處理辦法。大量豐富、有趣、高相關性的例題與變式題，讓人眼前一亮，也給我指明了解題后反思的一條路。解題后常反思，想問題深了，看問題眼界更廣了，指導學生更得心應手了，好處是非常多的。本題對學生數形結合思想的要求非常高，需要分類討論時結合二次函數的圖象得到不同范圍內的函數最值，胡老師通過變式、畫圖，已經引導的非常好了。如何設置層層深入的問題，由表及里、由淺入深地幫助學生進一步提高數形結合能力、理解二次函數圖象的能力？這是我接下來一段時間要好好思考的。

最后，感謝胡老師精彩的研題，感謝張欽博士搭建的學習平臺，希望我們能在這么好的研究氛圍中，百尺竿頭更進一步，相信研題活動一定會助于我們從容應對新中考。

精彩點評二

仔細學習了胡芳老師的研題，又對照課件細細回味學習，胡老師清晰的講解思路，詳實的分類討論，讓我感受了研究數學題的嚴謹性，收獲多多，感慨多多。我特別欣賞胡老師研題的有這幾點：

一、有序思考尋路徑

正如胡老師所言，這是一道函數新定義題，然而又都是基礎知識的綜合運用，內涵本質是考查函數的最值問題。一般而言，理解新定義問題的關鍵是學生讀懂題意，用已有的知識、能力導航數學思考，解決問題。學生的“望而卻步”也只是理解上“慢一拍”， 無法將題中的已知條件進行整合并計算，這樣的思維障礙，在平時學生的解題過程中也比較常見，這就需要教師在解題教學時給予學生充分暴露思維的機會,在思維路徑的障礙點處加以點撥。胡老師注重引導有效審題、有序思考,由“已知”想“可知”，由“未知”想“需知”，由“一級思考”到“二級思考”， 由正比例、一次函數、反比例函數、到帶參二次函數，循序漸進，充分挖掘了學生的綜合能力，通過知識點的橋梁，構建學生的思維通道。

二、數形結合悟分類

本題的特色在于分類討論，沒有一題多解的繁雜，只有不重不漏的精準分類。胡老師在解決問題的過程中，利用圖形的直觀性找到分類的依據，就像數學家華羅庚所說：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離”。 定軸動區間問題本來是難點，但胡老師根據題設和要得到的結論之間的內在聯系，既分析其數量關系，又揭示其幾何意義，使數量關系和函數圖形緊密結合，并充分地利用這種結合，分解題目難點，探求最值問題。學生可在本題的探究中，充分感受到數形結合的妙用，分類討論的嚴謹，體會數學的奇妙。

三、思想滲透提素養

教師的教學要始終立足學生核心素養的發展，體現數學學科的育人價值。胡老師在教學反思中特意提到轉化、分類討論、數形結合等數學思想方法在平時教學中的運用與滲透，也聯系課標、課本談到了概念剖析教學，這些教學方法都是有理于學生數學思想的形成，對于提高學生的核心素養具有重要意義。相信在胡老師的引導下，學生會從不同層面去嚴謹地分析問題，對開放性題目的解決有較深刻的認識，實現“研一個，得一法，會一類、通一片”，獲得經驗的積累、數學的理解和素養的提升。

精彩點評三

2022年湖南長沙數學中考第25題是一道與二次函數結合的新定義題目，這也是長沙市連續第三年在壓軸題（倒數第二題）中進行此種題型的嘗試。通過“新定義”的載體考查了函數基本概念、區間增減性等基本性質，這種題型是讓學生經歷學習定義--研究性質--基本運用--綜合運用的過程，整個過程與概念課的整體架構幾乎類似，所以是對學生學習能力的一種重要考察方式。聆聽了胡老師關于此題的講解，讓我對胡老師簡潔明了的語言印象深刻，同時胡老師在解題中呈現的層次感和面對難點逐一突破的做法，也讓我對習題教學有了更深的理解。下面結合此節課，我談一下我的感悟：

一、習題教學是教師與學生思維同頻共振的集中體現。

美國著名心理學家奧蘇貝爾認為，有意義學習的發生和保持的最有效策略，就是利用適當的引導性材料對當前所學新內容進行定向與引導，唯有如此才能確保新、舊知識間建立實質性的、非人為的聯系。為什么數學課上老師講題有的孩子聽得懂，有的孩子還在云里霧里，就是各個孩子的認知結構并不相同，大班化的數學教學要以大部分學生的認知情況為起點，設計對應的活動場景，從而讓學生從舊知識遷移到新知識，從而加強對新知識的理解。胡老師在第二問中求h的最大值時，意識到此時求h的最值學生會存在一定問題，所以用了換元法，轉換成學生很熟悉的反比例函數的一部分去解決最值的問題。第三問分類別討論中，胡老師的做法是逐個突破，先看最大值的三種情況、再看最小值的四種情況，然后再進行合并分類。胡老師認識到學生在解題的道路上會遇到分類的困難，所以充分考慮了學生的可接受度，把握住學生學習的最近發展區，設計了單獨突破最大值和最小值的環節，力求使開展的教學活動貼近學生實際認知。

二、習題教學是培養學生數學核心素養的組成要素。

數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些核心素養既有獨立性，有相互交融。在胡老師的講解中，抽象出新函數；構建新函數轉化為反比例函數；第三問的分類討論思想的體現；利用函數圖像對區間內函數增減性的處理等這些都是數學核心素養的組成部分。所以數學習題教學，不僅是局限于題目的解答，更重要的是學生通過解題，形成基本的數學思維，從而促進學生核心素養的發展，滿足學生終身發展的需求。

三、習題教學是反思教師自我教學情況的評價指標。

解題教學只是數學教學的一部分，更重要的是引導學生形成自然的解題思路，同時能夠剖析問題本質。解題中你是怎么想的？做不下去的障礙是什么？而造成這種障礙的原因是什么？造成這些障礙的原因是正是源于我們的教學和課堂活動的開展中出現的一些問題。胡老師在反思中談到了概念課的教學，也就是對標“新定義”題型中出現的思維障礙，隨即引發的對此類課型的教學反思。

最后再次感謝胡芳老師給我們呈現的精彩講解與反思，也感謝張欽博士為我們搭建的研題平臺，讓我們共同研究，反思教學，從而促進教學能力的提升。

精彩點評四

認認真真學習了兩遍胡老師對長沙第25題的講解，收獲多多。

本題考查了函數新定義，要掌握一次函數，反比例數，二次函數的性質，難點在于分類討論時t的取值范圍的取舍。尤其是本題的第（3）問，難點在于如何界定函數的最大值與最小值，要進行二次分類討論，對學生的邏輯推理能力、作圖能力以及計算能力的要求都很高，難度很大。綜合來看，此題以新定義的形式將初中階段幾個函數要考查的性質綜合到了一起，串聯了初中階段所學函數的基本性質，體現了出題者的智慧。學習完胡老師的研題，我對此題又有了更深入的認識。下面主要談三點學習感受：

一、撥云見霧，參透概念的內涵是解題的關鍵

新定義問題是目前中考中常出現的一類問題，是將學生還沒有學過的一些知識用新定義的形式呈現出來，讓學生在給定的條件下求解，其實這類問題的處理方法就是充分解讀新定義的內涵，參透概念的本質是什么，讀懂了所求問題的本質，問題也就迎刃而解了。學生在解題中出現的第一個思維障礙就是不理解題目的意思，胡老師針對學生的讀題障礙對新定義進行了充分解讀，挖掘了概念的內涵，找出了此題的考查知識點，教師的精準分析能幫助學生厘清思維，幫助學生有序思考。如果學生在解題的過程中能夠參透概念的內涵就是求一次函數、反比例函數、二次函數的最值時，相信能領悟這一點的同學大概率能做出此題，這也告訴我們在日常教學中要加強概念的教學，充分挖掘概念的內涵和外延，理解知識的來龍去脈，胡老師在第一點研題反思中講解的內容對我的啟發很大。

二、數形結合，將抽象的函數具象化是解題的突破點

本題是一道函數綜合問題，函數本身就很抽象，學生不好理解，如何將抽象的函數具象化，數形結合是最佳的解題搭檔。此題的第二問和第三問都需要用到數形結合思想，大膽畫圖，通過作圖尋找解題突破點。胡老師再次精準把握了學生思維的第二個障礙，借助數形結合，通過分類畫圖，明確最大值與最小值的界定方法，尤其在第（3）問中的分類討論時，通過畫圖，學生就能很快理解為什么在定軸動區間中的最值是變化的，隱含的二級討論也就浮現了，將抽象的函數具象化，數形結合的功勞不可磨滅。胡老師對分類討論中兩種方法的歸納我讓印象格外深刻，一級討論最大值，二級討論最小；一級討論最小值，二級就討論最大值，方法的歸納起到了畫龍點睛的作用，妙。

三、準確計算，提高自信是解題的加分項

本題要完整解答出來，離不開準確的計算，都說計算是數學的童子功，的確如此，如果學生在解答此題中能夠準確的計算出結果，便可以激勵他們繼續往下探索。胡老師在講解中引導學生換元就是在滲透運算方法與技巧。在日常教學中，我們不僅要教學生基本的算理，也需要滲透一定的技巧，起到事半功倍的效果。

一堂好的習題課需要老師關注的方面太多太多了，我需要學習的方面也太多太多，每次認真學習老師們的研題講解，就是在給自己充電、加油。感謝胡老師的精彩講解，感謝張欽博士及團隊提供這么好的學習平臺，我將繼續跟著各位優秀的老師們學習，提高自己的數學素養，爭取更大的進步！

精彩點評五

今天學習了胡老師講解的2022年湖南省長沙市中考數學第25題，讓我受益匪淺，本題的是一道函數新定義題，是二次函數定軸動區間的最值問題，含有多個參數，綜合性較強。

本題又淺到深層層遞進，第一問學生容易入手，以正比例函數和確定的定義域入手，從而認識新定義。同時以一次函數為背景，考察函數的增減情況，靈活運用。本小題，從特殊到一半的情況，由具體到抽象。在第二問中，以反比例函數為背景解決問題，在本問中運用了數學轉化的思想，將新問題轉化為我們以有知識來解決。第三問以二次函數為背景，包括定軸動區間綜合性較強。解決問題的過程中用到了分類討論和數形結合的思想，利用數形結合等方法解決問題。

胡老師教學反思深入、全面思考，在胡老師的講解中讓我受益匪淺，舊知引入，將復雜的問題化為簡單問題，并將轉化的思想進行適當的總結，起到了解一題知一類通一片的效果。概念的理解、記憶、與應用也是學生經常學不好的地方，胡老師通過對本題的分析，提出了一些辦法。

本題主要是分類討論，需要學生思路清晰，分類過程不重不漏。胡老師利用圖形的直觀解決此問題的過程中，逐步找分類的依據， 定軸動區間問題對學生來說比較困難，不容易得分，但胡老師講解中找到內在聯系，如何解決層層深入的問題，沒有無緣無故的第一問，由淺入深地幫助學生進一步提高數形結合能力、理解二次函數圖象的能力。這是作為教師要深入思考的問題。

胡老師在分析和解決問題是做到了眼中有數、心中有形。在講解的過程中優化解題思路和解題策略。在講解過程中給逐步分析，由淺入深強化對概念的理解。代幾結合、數形結合，利用空間觀念理解幾何問題。在胡老師講解過程中，全面分析，全面開發腦功能，培養學生的創新意識。在幾何圖形中形狀、大小、位置密切相關的數量關系。胡老師通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題，并以形助學，具有嚴謹與形的直觀，是優化解題過程的，是重要的數學思想方法。

胡老師教師的教學立足學生核心素養的發展，以學生為主體，注重方法教學。胡老師善于啟發學生的思路，與平時教學緊密聯系，并對課標、課本深入剖析，有理于學生數學思想的形成，對提高學生的核心素養具有重要意義。

最后感謝張欽博士提供的研學平臺，讓青年教師向有經驗教師不斷學習，逐漸提高自己的教學水平，提高自己的教學素養！

個人感言

2022年長沙中考數學第25題是一道函數新定義題，然而又都是基礎知識的綜合運用，靈活遷移，在讀懂新定義的前提下舉一反三，層層推進。我們不難得出函數新定義“共同體函數”的內涵本質是考查函數的最值問題，進一步會發現是求解自變量為變化的動區間時，相應的函數的最大值和最小值。隨之我們又會發現隨著自變量所在區間的變化，函數的最大值和最小值也可能會發生變化，所以自然想到分類討論。 第一小題的兩小問中，①以正比例函數（具體的函數）和確定的定義域為背景，目的在于認識新定義；②以一次函數為背景，考查一次函數在R上增減性。本小題由特殊到一般，由具體到抽象；由特殊到一般再由一般到特殊是人們認識世界的基本過程，對數學而言，就是我們常說的特殊與一般的數學思想。（2）以反比例函數為背景，但新的問題出現，h關于t的函數的增減性分析比較困難，于是采用換元法轉化為熟悉的函數，結合圖像分析得到最大值 。這里我們運用了轉化的數學思想，將新的問題轉化為用我們所學過的知識來解決，這樣使得問題迎刃而解。（3）以二次函數為背景，是一個定軸動區間問題。在解決問題的過程中我們用到了分類討論和數形結合的思想。分類討論的難點在于要找到分類討論的依據，此題解決最值我們可以從兩個方向突破：一是從取到最大值M的情形來分類，共三種情況，分別是當x=t+1/2，x=2,x=t?1/2，而當x=2取最大值M時，最小值N不確定，于是很自然的展開二級討論；二是從取到最小值N的情形來分類，共兩種情況，分別是當x=t?1/2和x=t+1/2時,而這兩種情形的最大值M都不確定，于是有必要展開二級討論。而在解決問題的過程中，圖形帶給我們的直觀性利于找到分類的依據。本題難點在于：同時求解二次函數在閉區間上的最大值與最小值，其中隱含二級討論。此題方法突破有兩個方向：一是一級討論最大值，二級討論最小值；二是一級討論最小值，二級討論最大值。

通過此次研題題，我發現自己在教學過程中需注意以下幾點：一是對教學中概念教學的思考。《課程標準》指出：“在教學中，應當從實際事例和學生已有的知識出發引入新的概念。”也可以通過在課堂中現場操作與演示的方式引入新的概念。“新定義”問題成為近年來中考數學壓軸題的新亮點，不少學生看到此類問題望而卻步，要求我們在平時的概念教學中注重剖析概念，注重對概念的深層次理解。二是轉化思想在教學中的滲透。恰當的使用轉化能將問題化繁為簡、化新知為舊知、計算量化大為小。對于一些復雜的問題，往往需要經過幾步轉化，直至轉化為一個便于解決的問題。三是如何找到分類討論的依據。分類討論有關的試題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練思維的條理性、概括性、嚴謹性。分類討論實際上是按照數學對象的共同性和差異性，將其區分為不同的種類的思想方法。其作用是克服思維的片面性，防止漏解。分類討論的關鍵在于明確是否需要分類 ，準確找到分類討論的依據（臨界點）。有時分類并不能一次完成，還需進行逐級分類。四是對分段函數的再“認識”。變量x在不同的范圍，有著不同的對應關系，即有著不同的解析式，這時需要分類將函數寫成分段的形式，我們稱這樣的函數叫做分段函數。分段函數是一個函數，不是多個函數。在分段函數的教學中，我們應該注意分段函數的整體性、對應性、分界點的特殊性和直觀性。五是在平時教學中引導學生注重數形結合，做到眼中有數-心中有形。現代腦科學研究揭示，大腦左右半球各有分工。左半球具有語言、邏輯、分析等抽象思維的優勢，右半球具有形象、靈活、綜合、富有情感等形象思維優勢。用“數形結合”的方法進行學習，可以使左右腦協同作用發揮。發揮全腦的功能，因此能收到更好的學習效果。六是教學中需注意語言的精煉，加強幾何畫板的運用。

感謝張欽博士搭建的研題平臺，讓我有機會能和眾多愛好研題的老師們探討交流，不僅開闊了我的解題思路，更讓我以中考題為載體，對整個初中數學壓軸題有了更系統，更深入的研究，能更好的服務于常規教學。感謝張欽博士和黃毅老師的指導，為我提供新的思維新的視角；感謝十六中數學組同仁們提出的寶貴建議與大力支持；感謝孫園園老師、周芊芊老師、王婭老師、孫連湘老師、徐佳老師的精彩點評；感謝各位老師的聆聽；讓我對本題和教學又有了新的思考。在教學的過程中我還有很多不足，但我將繼續向大家學習，努力成長。

胡芳老師簡介

胡芳，高級教師，宜昌市顧遠航名師工作室成員，中學數學競賽優秀教練員，優秀閱卷員，多次獲上級部門的優秀教師和教學能手等榮譽表彰，主持課題并參與課題研究，多篇論文在刊物雜志發表。作為老師，我始終堅持將愛心獻給學生，誠心送給家長，信心留給自己。