精彩點評一

認真學習了劉家付老師的研題，對比自己平時的教學，感嘆要學習的東西真的越來越多。

本題是以二次函數為背景的幾何綜合題，考察了二次函數的相關基礎知識，且涵蓋相似的性質與判定，點與點的距離，點與直線的距離，最值問題…對于函幾綜合，學生內心是拒絕的，那我們就應該從學生的解題的角度來研究題目。

劉老師做到了這一點，首先將題目讓學生做，從正確率及方法的選擇等方面了解學生的答題情況，知曉學生對基礎知識的掌握情況，是對自己教學情況的反饋，并整理學生的做法，評講時就會關注到學生出現的問題，體現教學評一致性。

第一問是求二次函數解析式，從學生的答題情況展示了不同的求法，可以了解學生對不同解法的熟練程度；

第二問，通過分析，面積與坐標都是未知量，最值又常和二次函數聯系在一起，因此就有了“設坐標——求面積——二次函數求最值”的思路，而求面積也有多種做法，劉老師總結了①相似比②割補法③等積轉換④面積公式等，整理了十多種解法，是非常透徹的。對比兩年前我自己的研題，今天又多掌握了一種求面積的思路。

在反思過程中，我印象較深的是劉老師聯系新課標，注重構建知識體系，特別是單元復習課如何復習，如何讓各知識點間，各章節間能互相聯動起來；其次，對課后習題研究比較透徹，對教材很是熟悉，整理了和本題相關的題目，反映出我們考試中的題也是從書本中來，教材才是學生第一手的資料。

我們每天都在做題，每天都在講題，當然每天都有新的收獲，感謝張欽博士搭建的研題平臺，感謝數學組的專家們無私的分享。

精彩點評二

認真學習了劉老師的課，又對照課件回顧劉老師研題的過程，慨嘆研之深，思之全，立足學生視角，給了我很多啟示。

布魯納曾說，“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。”但是聽完了劉老師對2022年廣東省中考第23題的研討，作為教師層面從常規的面積表示與相似人融合到距離公式補充與應用體系構建的更清晰了，從學生層面，學生也感悟了一題多解，在解題中選擇適當的角度進行了大膽嘗試，體驗了成功的快樂，教師最后的總結與提升，讓學生能將這些方法類比遷移，積累更多的活動經驗。

教學的主要任務不是積累知識，而是發展思維。劉老師通過多角度，多層次的建立知識間的縱橫聯系，尋找解決問題的突破口，對同一個問題采用不同的方法，激發學生的內驅力，提高解題能力，提升核心素養。在第2問的探究中，選擇了11種方法進行闡釋，劉老師的著眼點是不論學生從哪個角度想，我們就可以順理成章從哪個角度來突破，而這果然都能成功。我的一點想法是，在解題后，某些方法類似的可以進行總結歸納，解法11發現了等腰三角形后，用相似三角形的對應邊的比等于對應高的比后，可以在解法3后順勢呈現，體現代幾綜合題需要認真審題，觀察圖形，分析如何利用已知信息進行思考，擬定自己的解題方略。

獨行慢，眾行遠，感謝劉家付老師為我們提供的精彩研究，我學習到了如何引導學生從哪里想，怎樣想，會走向哪里進行解法生成的思考。感謝張欽博士提供的研題平臺，為數學老師的成長助力。

精彩點評三

聽完2022年廣東省中考第23題的研討，有以下收獲：
1、從條件與結論入手，多層次建立知識間聯系。
劉老師通過多角度，多層次的建立知識間的縱橫聯系，尋找解決問題的突破口，對同一個問題采用不同的方法，激發了學生的內驅力，提高了解題能力，提升了核心素養。
2、從圖形結構入手，尋求思路突破。
幾綜合題，觀察圖形，分析已知信息，展開思考，尋找解題思路，從幾何角度解決代數問題，通常能得到較為簡潔的方法，并可以使得計算簡潔，可以減緩學生對函數的恐懼情緒。圖形結構，是數形結合行之有效的落實路徑。如第2問中，有一個重要基本圖形，等腰三角形，可以嘗試著尋找簡潔方法。劉老師用了11種方法進行闡釋，著眼點是基于學生學情和思考視角不同，即無論學生從哪個角度想，均可以順從學生的思路去引導去突破，都能有效助力學生走向成功，這正是教作用的體現和價值取向，即啟導，正是貴在助力學生思維解惑，以順思和思辯去助推學生思維發展。
3、從突破運算關入手，讓學生在獲得成功中享受數學思考的樂趣。
函數既是初中數學重要的知識點，也是重要的思想方法，更是一種重要的分析解決問題的工具和手段，尤其是借助函數圖象與性質去分析解決問題，有意識引導學生用函數思想方法和視角去轉化去處理函數問題，有助于提升學生對數形之間聯系與認識，是培植學生核心素養的抓手之一。
然而，學生怕算，算，成為學生解答函數題的攔路虎。想得到還需算得準寫得明，計算和畫圖，應當是引導學生學習函數并用函數工具展開思考之根。歸所不了根的飄落，都是飄零；沒有歸程的奔跑，都是流浪；缺少務實的努力，都是頹廢；失去思考的人生，無論怎么努力都是白廢。
計算對學習函數，尤為重要，她始終貫穿于想象，畫圖和推理的始終，計算簡潔性與準確性往往來自于圖形結構的洞察，又決定于學生是否能享受到成功思考的快樂體驗。沒有計算，就沒有對數形結合的精細表達，就缺乏對幾何圖形的深刻描述，就缺少對函數與方程思想方法的深入理解和運用。
因此，讓學生自己去算，特別是含參運算，是教學中不能只重視思路而忽視學生親手算，更絕不能為了節約課堂時間去包辦的。
感謝劉家付老師為我們提供的精彩研究，感謝張欽博士提供的研題平臺，為數學老師的成長助力。

精彩點評四

認真學習了劉老師講解的廣州市中考數學23題，收獲很多，首先感謝劉家付老師給我們帶來的深入細致的講解，精巧的設計，他山之石可以攻玉，感受很深。
著名數學家華羅庚說過：學習有兩個過程: 一個是“從薄到厚,一個是從厚到薄”,在學習這個題目的過程中，我深深體會到了這一個過程。第一問比較基礎，求二次函數的解析式，首先通過點、線段，求出第二個點的坐標，由一般式求出解析式，再此基礎上提出交點式，頂點式，復習了學生解析式的三種方法，豐富了學生的體驗，感悟。并做到一問一結，提升學生的認知。
第二問是求三角形的面積的最值問題，這個問題的難點是求三角形的面積，在此基礎上利用二次函數的性質求最值的問題。劉老師以問題為驅動，數形結合為導向，層層深入，先后研究出了十一種方法，研究之深，思考之豐富，值得我們學習！并且結合我們教材的呈現方式，思考在平時教學過程中如何去挖掘教材的功能，從七年級中的格點三角形的面積問題，到八年級的一次函數結合的面積問題，最后到九年級二次函數結合的面積問題，相似問題等，劉老師都一一進行了歸納、匯總，嘗試作一個面積問題的大單元復習，讓學生從中受益。以核心知識為載體，充分發揮教材的指導作用，夯實學生基礎，有效提升學生能力。當然面積問題的方法遠不只這些，隨著今后學習的深入，還有更多的方法要發現與應用。所以要“從厚到薄”，還要有計算作保證，在實踐中源源不斷提高我們的計算方法與手段，權衡難度與得失，讓學生在學習的過程中走出每一個難點，提高自信心，做到熱愛數學，喜歡數學！
最后再次感謝劉老師的精心付出，同時也感謝張博士提供這個平臺，讓我們足不出戶就能收獲滿滿！

精彩點評五

打開劉老師的PPT，初次接觸2022年廣東省中考數學第23題，此題只設置了兩個小題，讀題做題后給我的感覺是簡單又常規，一度讓我懷疑是不是中考壓軸題。我查了一下整套試卷，才發現確實是被號稱廣東史上最簡單的數學中考題。研這樣的題有什么好講的呢，如果是我該講些什么？讓我困惑不解。
學習完劉老師的PPT，驚訝于劉老師的解題方法之多，感嘆于劉老師由淺入深的思考，讓我佩服又慚愧。點開劉老師的直播回放，仔細聆聽學習了劉老師的2個多小時的研題講解，更讓我由衷的欽佩，劉老師至細至深的研究與思考絕對是我學習的榜樣。
一、“問渠那得清如許，為有源頭活水來”
張博士說：要給學生一杯水，可能還是不同的學生要有不同的一杯水，老師要有一桶水，甚至是不同的源源不斷的水。告誡老師們需不斷的學習，學習課標、學習教材、學習教參，足夠深的教學基本功才能巧妙的應對課堂中的意外生成，才會有效合理的正確引導，促進學生思維的發展，能力的提升，劉老師的研題正是其具有扎實基本功的表現。
二、“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”
劉老師此題中三角形面積最大值的11種解法，7種思路，數形結合，精彩紛呈，各有千秋。通過對學生一題多解的訓練，培養學生從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，發散思維，拓寬解題思路。當然這里我也有一個疑問，平時的課堂教學中，時間有限的情況下，是否需要每種解法都要講解，有沒有必要？我們解數學題，并非一定要去追求高級的解法，通法有通法的美，特殊法有特殊法的妙，是否選擇最優的幾種即可？
三、“山重水復疑無路,柳暗花明又一村”
劉老師還對學生的各種錯誤進行了仔細的分析，深入剖析出現錯誤的原因，其實類似于這樣的題，平時練得夠多了，是不是平時沒有去反思總結方法呢？此路不通時，轉換方向也許會柳暗花明，而這樣的變通往往考驗學生的核心素養。
劉老師研題中的多解多題歸一也是我們所向往的美好，以培養學生對通性通法的理解與掌握運用。多個數學題，雖然研究對象不同，題型不同，但是問題的實質相同，我們只要抓住其共同的本質特征，掌握解答此類問題的規律，做到觸類旁通，達到舉一反三、事半功倍的教學效果，也可讓學生脫離題海的苦惱。數學其實不需要那么多題，但必須要有扎實的基本功，具備發現問題、解決問題的能力，不然將寸步難行。
路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索。感謝劉老師精彩的研題，感謝張欽博士搭建的學習平臺，愿與所有數學同仁共同學習進步，輕松迎接明年的全省統一中考，深入研究學習，以不變應萬變。

個人感言

2022年廣東省中考試卷第23題，是一個以二次函數為基礎的幾何綜合題，考查了二次函數圖象和性質、待定系數法求函數解析式、等腰三角形、兩點之間的距離、點到直線的距離、相似三角形的判定和性質、二次函數的最值以及幾何最值等知識點。本題的二問由易到難，層層深入，通過抓住圖形中某些特殊的數量關系和位置關系進行解題，考查學生的觀察能力、運算能力和邏輯推理能力，展示了數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模、幾何直觀等數學核心素養。

第一問考查了用待定系數法求拋物線的解析式。從學生的答題情況看，學生比較喜歡用將A,B兩點坐標代入y=x2+bx+c，進行解二元一次方程組得到b,c的值;也有不少學生求出點B坐標后,直接用交點式表示函數的解析式,這也是該題的簡便方法。個別學生利用頂點式求拋物線的解析式,該題的這種解題方法確實沒有前兩種簡便。因此，從學生的實際情況出發，引導學生從不同角度分析，根據條件可以分別利用一般式、交點式、頂點式進行求拋物線的解析式。最后，通過對比，找出該題最簡便的運算，以提高學生的準確率。

第二問考查了用拋物線的圖象和性質求三角形的面積最值問題。這一問要求面積的最值和點的坐標，這些都是未知，因此，引導學生從要求的問題入手，變未知為“已知”，將點P的坐標設為(m,0),然后利用相似三角形的判定和性質、等腰三角形、等量轉換、兩點之間的距離、點到直線的距離、函數建模、三角形面積公式等，將△CPQ的面積用含有m的式子表示出來，即轉化為面積和m之間的二次函數關系，結合m的取值，進而求出面積的最大值。從學生的答題情況看，利用補割法求面積是學生常用的方法。怎么將△CPQ的面積與點P聯系起來是解題的關鍵,學生在作答時是利用有關點P的式子表示△CPQ的面積,但是用點P的坐標去表示線段時容易出現錯誤。比如AP=｜m｜+1或AP=1-m,在講評時要重點引導點與點之間的距離表示。在坐標系中求平行于坐標軸的線段長度，若與x軸平行，則用右側端點的橫坐標減掉左側端點的橫坐標，若與y軸平行，則用上端點的縱坐標減掉下端點的縱坐標，這可避開絕對值。根據學生的答題情況出發，凡是學生在答題時能想到的方法和思路，在講評時，都給學生進行系統的歸納和總結。梳理了學生所有的思路，共歸納了十幾種解題方法，并將每一種方法都給學生講明白。最后，引到學生分析這十幾種方法之間的關系，找到共性，梳理出解題模式。由條件中PQ∥BC出發，可以利用面積轉換、相似三角形、解直線解析式、三角形面積公式，并借助平時常用的割補法來表示出△PCQ的面積；通過觀察△ABC可以發現這是等腰三角形，在解答時可以從等腰三角形上的動點問題進行解答此題，這時會發現和前面的方法相同。因此，在引導學生歸納時，培養學生可以從不同角度看待問題，從不同方法歸納出動點問題中用二次函數的性質求三角形面積最值模型。

中考題目可以說是書本上能找到母體，因此在教學中注重對書本上的題目提煉和歸納。每學完新知后，先利用知識解決問題，然后，再通過問題提煉出知識點，這樣可以加深學生對知識點的理解和運用。完整的知識結構和良好的計算能力是解決該題的關鍵，因此，教學中幫助學生梳理章節的知識結構和計算能力的訓練是常態。每學完一章內容后，會安排學生對本章知識點進行梳理，并引導學生構造出自己的知識結構圖；后期還會安排專題學習，由一題將章節知識點聯系起來，由“一點”的知識可以聯絡出“一面”的知識，加強學生對知識點進行梳理并將知識點之間內在聯系溝通起來。由于學生的計算能力較差，就具體分析學生的實際情況，查找問題的根源，進行針對性的訓練學生的計算，每天課前5分鐘計算題聯系是我們的常規，再根據學生結果的反饋進行及時的講評和梳理，再安排計算題訓練，這樣讓學生進行“做題—總結—做題”的模式來提高學生的計算能力。

幾何直觀是做幾何題的關鍵，好多學生看完幾何題后，看不出條件和要求問題之間有什么關聯，因此教學中多安排題目來培養學生的幾何直觀，讓學生從題目中找到知識點之間的關聯，并透過題目看到問題的本質。同時，教學中每進行新課教學或者題目講評時，利用幾何畫板進行動態演示，激發學生多方位的看待問題和思考問題，把抽象的數學教學變得直觀形象，輔助教師來培養學生抽象思維和幾何的空間想象力，讓學生更好的掌握和應用知識。

當學生處理讓他感覺壓力很大的題目時，機體會釋放皮質醇激素到血液中，為應對壓力而降低學習任務的能力，這時學生就說題目太難而不會做。因此，在教學中可以將問題分解成若干的小問題進行設問，讓學生逐步破解這些小問題以達成問題的解答。比如，將23題的第二問分成3大問，另外2大問從不同解題思路進行設問，每一問都是為下一問做條件，最終還是完成問題的解答。這樣設置題目，不僅考查了知識點、而且適合不同層次的學生進行選擇，以不同的評價方式來評價不同學生的學習效果。這題不僅可以幫助學困生提供解題思路，讓他在解決每一步時能夠體會到成功的喜悅，更加激發他的解題動機和興趣，逐步培養他邏輯思維能力，提高他的學習效率；而且可以為學優生提供更多地解題思路，擴寬他的解題思維，讓他體會到一題多解，幫助他更能把握題目的本質問題。這樣一來，讓每個學生都能在數學上得到不同的發展。

感謝張欽博士搭建的研題平臺，讓我有機會能和眾多愛好研題的老師們探討交流，不僅打開了我的解題思路，更能讓我以中考題為載體，對整個初中幾何有了更系統更深入的研究，并以此為反饋到我的常規教學中去。感謝張欽博士和黃毅老師提供的新思路，讓我能夠跳出已有的思維，從不同的角度去理解本題帶來的價值；感謝五峰縣研訓中心的雷斌教研員及傅家堰中小學的李萬軍老師、謝海霞老師以及初中數學組同仁們提供的寶貴建議與大力支持，感謝張紅麗老師、李煥老師、葉先玖老師、劉國華老師、裴娥老師的精彩點評，讓我對本題和教學又有了新的思考。天涯海角有盡處,只有師恩無窮期。很幸運我能加入這個組織，我將繼續向大家學習，努力成長，爭取早日成為一名有深度的數學教師。

劉家付老師簡介

劉家付，中共黨員，一級教師，五峰縣初中數學學科工作室成員，多次獲上級部門的優秀教師和師德標兵等榮譽表彰，多篇論文在刊物雜志上發表。一直堅持的教育理念是：心守一抹暖陽，靜待一樹花開。